Вывод формулы для времени полета

Вывод формулы для времени полета

Цель работы: изучение движения тела, брошенного под углом к горизонту; определение времени, дальности и высоты полета.

Если тело бросить под углом к горизонту, то в полете на него действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха. Если силой сопротивления пренебречь, то остается единственная сила – сила тяжести. Поэтому вследствие 2-го закона Ньютона тело движется с ускорением, равным ускорению свободного падения ; проекции ускорения на координатные оси равны ах = 0, ау = -g.

Любое сложное движение материальной точки можно представить как наложение независимых движений вдоль координатных осей, причем в направлении разных осей вид движения может отличаться. В нашем случае движение летящего тела можно представить как наложение двух независимых движений: равномерного движения вдоль горизонтальной оси (оси Х) и равноускоренного движения вдоль вертикальной оси (оси Y) (рис. 1).

Проекции скорости тела, следовательно, изменяются со временем следующим образом:

где – начальная скорость, α – угол бросания.

Координаты тела, следовательно, изменяются так:

При нашем выборе начала координат начальные координаты (рис. 1) Тогда

(1)

Проанализируем формулы (1). Определим время движения брошенного тела. Для этого положим координату y равной нулю, т.к. в момент приземления высота тела равна нулю. Отсюда получаем для времени полета:

. (2)

Второе значение времени, при котором высота равна нулю, равно нулю, что соответствует моменту бросания, т.е. это значение также имеет физический смысл.

Дальность полета получим из первой формулы (1). Дальность полета – это значение координаты х в конце полета, т.е. в момент времени, равный t. Подставляя значение (2) в первую формулу (1), получаем:

. (3)

Из этой формулы видно, что наибольшая дальность полета достигается при значении угла бросания, равном 45 градусов.

Наибольшую высоту подъема брошенного тела можно получить из второй формулы (1). Для этого нужно подставить в эту формулу значение времени, равное половине времени полета (2), т.к. именно в средней точке траектории высота полета максимальна. Проводя вычисления, получаем

. (4)

Из уравнений (1) можно получить уравнение траектории тела, т.е. уравнение, связывающее координаты х и у тела во время движения. Для этого нужно из первого уравнения (1) выразить время:

и подставить его во второе уравнение. Тогда получим:

Это уравнение является уравнением траектории движения. Видно, что это уравнение параболы, расположенной ветвями вниз, о чем говорит знак «-» перед квадратичным слагаемым. Следует иметь в виду, что угол бросания α и его функции – здесь просто константы, т.е. постоянные числа.

1. Движение тела, брошенного горизонтально

Если сопротивлением воздуха можно пренебречь, то брошенное как угодно тело движется с ускорением свободного падения .

Рассмотрим сначала движение тела, брошенного горизонтально со скоростью v_vec0 с высоты h над поверхностью земли (рис. 11.1).

В векторном виде зависимость скорости тела от времени t выражается формулой

В проекциях на оси координат:

? 1. Объясните, как из (2) и (3) получаются формулы

x = vt, (4)
y = h – gt 2 /2. (5)

Мы видим, что тело как бы совершает одновременно два вида движения: вдоль оси x оно движется равномерно, а вдоль оси y – равноускоренно без начальной скорости.

Читайте также:  Какие модели iphone сняли с производства

На рисунке 11.2 показано положение тела через равные промежутки времени. Внизу показано положение в те же моменты времени тела, движущегося прямолинейно равномерно с той же начальной скоростью, а слева – положение свободно падающего тела.

Мы видим, что брошенное горизонтально тело находится все время на одной вертикали с движущимся равномерно телом и на одной горизонтали со свободно падающим телом.

? 2. Объясните, как из формул (4) и (5) получаются выражения для времени tпол и дальности полета тела l:


Подсказка. Воспользуйтесь тем, что в момент падения y = 0.

? 3. Тело бросают горизонтально с некоторой высоты. В каком случае дальность полета тела будет больше: при увеличении в 4 раза начальной скорости или при увеличении во столько же раз начальной высоты? Во сколько раз больше?

Траекторий движения

На рисунке 11.2 траектория движения тела, брошенного горизонтально, изображена красной штриховой линией. Она напоминает ветвь параболы. Проверим это предположение.

? 4. Докажите, что для тела, брошенного горизонтально, уравнение траектории движения, то есть зависимость y(x), выражается формулой


Подсказка. Используя формулу (4), выразите t через x и подставьте найденное выражение в формулу (5).

Формула (8) действительно представляет собой уравнение параболы. Ее вершина совпадает с начальным положением тела, то есть имеет координаты x = 0; y = h, а ветвь параболы направлена вниз (на это указывает отрицательный коэффициент перед x 2 ).

? 5. Зависимость y(x) выражается в единицах СИ формулой y = 45 – 0,05x 2 .
а) Чему равны начальная высота и начальная скорость тела?
б) Чему равны время и дальность полета?

? 6. Тело брошено горизонтально с высоты 20 м с начальной скоростью 5 м/с.
а) Сколько времени будет длиться полет тела?
б) Чему равна дальность полета?
в) Чему равна скорость тела непосредственно перед ударом о землю?
г) Под каким углом к горизонту будет направлена скорость тела непосредственно перед ударом о землю?
д) Какой формулой в единицах СИ выражается зависимость модуля скорости тела от времени?

2. Движение тела, брошенного под углом к горизонту

На рисунке 11.3 схематически изображено начальное положение тела, его начальная скорость (при t = 0) и ускорение (ускорение свободного падения ).

Проекции начальной скорости

Для сокращения последующих записей и прояснения их физического смысла удобно до получения окончательных формул сохранять обозначения v0x и v0y.

Скорость тела в векторном виде в момент времени t и в этом случае выражается формулой

Однако теперь в проекциях на оси координат

? 7. Объясните, как получаются следующие уравнения:

Мы видим, что и в этом случае брошенное тело как бы участвует одновременно в двух видах движения: вдоль оси x оно движется равномерно, а вдоль оси y – равноускоренно с начальной скоростью, как тело, брошенное вертикально вверх.

Траектория движения

На рисунке 11.4 схематически показано положение тела, брошенного под углом к горизонту, через равные промежутки времени. Вертикальные линии подчеркивают, что вдоль оси x тело движется равномерно: соседние линии находятся на равных расстояниях друг от друга.

? 8. Объясните, как получить следующее уравнение траектории тела, брошенного под углом к горизонту:

Формула (15) представляет собой уравнение параболы, ветви которой направлены вниз.

Читайте также:  Узнать дату удаления страницы вк

Уравнение траектории может многое рассказать нам о движении брошенного тела!

? 9. Зависимость y(x) выражается в единицах СИ формулой y = √3 * x – 1,25x 2 .
а) Чему равна горизонтальная проекция начальной скорости?
б) Чему равна вертикальная проекция начальной скорости?
в) Под каким углом к горизонту брошено тело?
г) Чему равна начальная скорость тела?

Параболическую форму траектории тела, брошенного под углом к горизонту, наглядно демонстрирует струя воды (рис. 11.5).

Время подъема и время всего полета

? 10. Используя формулы (12) и (14), покажите, что время подъема тела tпод и время всего полета tпол выражаются формулами


Подсказка. В верхней точке траектории vy = 0, а в момент падения тела его координата y = 0.

Мы видим, что и в этом случае (так же, как для тела, брошенного вертикально вверх) все время полета tпол в 2 раза больше времени подъема tпод. И в этом случае при обратном просмотре видеосъемки подъем тела будет выглядеть в точности как его спуск, а спуск – как подъем.

Высота и дальность полета

? 11. Докажите, что высота подъема h и дальность полета l выражаются формулами

Подсказка. Для вывода формулы (18) воспользуйтесь формулами (14) и (16) или формулой (10) из § 6. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении; для вывода формулы (19) воспользуйтесь формулами (13) и (17).

Обратите внимание: время подъема тела tпод, все время полета tпол и высота подъема h зависят только от вертикальной проекции начальной скорости.

? 12. До какой высоты поднялся после удара футбольный мяч, если он упал на землю через 4 с после удара?

? 13. Докажите, что


Подсказка. Воспользуйтесь формулами (9), (10), (18), (19).

? 14. Объясните, почему при одной и той же начальной скорости v дальность полета l будет одинакова при двух углах α1 и α2, связанных соотношением α1 + α2 = 90º (рис. 11.6).


Подсказка. Воспользуйтесь первым равенством в формуле (21) и тем, что sin α = cos(90º – α).

? 15. Два тела, брошенные одновременно и с одинаковой по модулю начальной око одну точку. Угол между начальными скоростями равен 20º. Под какими углами к горизонту были брошены тела?

Максимальные дальность и высота полета

При одной и той же по модулю начальной скорости дальность полета и высота определяются только углом α. Как выбрать этот угол, чтобы дальность или высота полета были максимальными?

? 16. Объясните, почему максимальная дальность полета достигается при α = 45º и выражается формулой

? 17.Докажите, что максимальная высота полета выражается формулой

? 18.Тело, брошенное под углом 15º к горизонту, упало на расстоянии 5 м от начальной точки.
а) Чему равна начальная скорость тела?
б) До какой высоты поднялось тело?
в) Чему равна максимальная дальность полета при той же по модулю начальной скорости?
г) До какой максимальной высоты могло бы подняться это тело при той же по модулю начальной скорости?

Зависимость скорости от времени

При подъеме скорость брошенного под углом к горизонту тела уменьшается по модулю, а при спуске – увеличивается.

? 19.Тело брошено под углом 30º к горизонту с начальной скоростью 10 м/с.
а) Как в единицах СИ выражается зависимость vy(t)?
б) Как в единицах СИ выражается зависимость v(t)?
в) Чему равна минимальная скорость тела во время полета?
Подсказка. Воспользуйтесь формулами (13) и (14), а также теоремой Пифагора.

Читайте также:  Какие кнопки надо нажать чтобы увеличить экран

ПОЛЁТ НА БОЧКЕ С КАРБИДОМ

Дополнительные вопросы и задания

20. Бросая камешки под разными углами, Саша обнаружил, что не может бросить камешек дальше чем на 40 м. На какую максимальную высоту Саша сможет забросить камешек?

21. Между сдвоенными шинами заднего колеса грузовика застрял камешек. На каком расстоянии от грузовика должен ехать следующий за ним автомобиль, чтобы этот камешек, сорвавшись, не причинил ему вреда? Оба автомобиля едут со скоростью 90 км/ч.
Подсказка. Перейдите в систему отсчета, связанную с любым из автомобилей.

22. Под каким углом к горизонту надо бросить тело, чтобы:
а) высота полета была равна дальности?
б) высота полета была в 3 раза больше дальности?
в) дальность полета была в 4 раза больше высоты?

23. Тело брошено с начальной скоростью 20 м/с под углом 60º к горизонту. Через какие промежутки времени после броска скорость тела будет направлена под углом 45º к горизонту?

Так как мы пренебрегаем сопротивлением воздуха, то ускорение направлено только к поверхности Земли ( g ) – вдоль вертикальной оси ( y ), вдоль оси х движение равномерное и прямолинейное.

Движение тела, брошенного горизонтально.

Выразим проекции скорости и координаты через модули векторов.


Для того чтобы получить уравнение траектории, выразим время tиз уравнения координаты x и подставим в уравнение для y:

— между координатами квадратичная зависимость, траектория – парабола!

Движение тела, брошенного под углом к горизонту.

Порядок решения задачи аналогичен предыдущей.

Докажем, что траекторией движения и в этом случае будет парабола. Для этого выразим координату Y через X (получим уравнение траектории):

.

Мы получили квадратичную зависимость между координатами. Значит траектория — парабола.

Найдем время полета тела от начальной точки до точки падения. В точке падения координата по вертикальной оси у=0. Следовательно, для решения этой задачи необходимо решить уравнение . Оно будет иметь решение при t=0 (начало движения) и

Зная время полета, найдем максимальное расстояние, которое пролетит тело:

Дальность полета:

Из этой формулы следует, что:

— максимальная дальность полета будет наблюдаться при бросании тела (при стрельбе, например) под углом 45 0 ;

— на одно и то же расстояние можно бросить тело (с одинаковой начальной скоростью) двумя способами – т.н. навесная и настильная баллистические траектории.

Используя то, что парабола – это симметричная кривая, найдем максимальную высоту, которой может достичь тело .
Время, за которое тело долетит до середины, равно:

Тогда:

Максимальная высота:

Скорость тела в любой момент времени направлена по касательной к траектории движения (параболе) и равна

Угол, под которым направлен вектор скорости в любой момент времени:

Движение тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту.
  1. Это движение в плоскости, поэтому для описания движения необходимо 2 координаты.
  2. Считаем, что движение происходит вблизи поверхности Земли, поэтому ускорение тела – ускорение свободного падения (a = g).
Ссылка на основную публикацию
Ворд перестал подчеркивать ошибки красным
Как сделать, чтобы в программе «Word 2007/2010/2013/2016» автоматически выделялись слова с ошибками? Как известно, в текстовом редакторе «Word» слова, содержащие...
Версии coreldraw по порядку
CorelDRAW Developer(s) Corel Initial release January 16, 1989 ; 31 years ago ( 1989-01-16 ) Stable release Written in C++,...
Ворд перестал подчеркивать ошибки красным
Как сделать, чтобы в программе «Word 2007/2010/2013/2016» автоматически выделялись слова с ошибками? Как известно, в текстовом редакторе «Word» слова, содержащие...
Вотч догс 2 персонажи
В игре Watch Dogs 2 главным героем является темнокожий хакер Маркус Холлоуэй, также главные действующие лица – это участники хакерской...
Adblock detector