Указать точку которая принадлежит плоскости

Указать точку которая принадлежит плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой этой плоскости.

Прямая принадлежит плоскости, если две ее точки принадлежат плоскости.

Эти два вполне очевидных предложения часто называют условиями принадлежности точки и прямой плоскости.

На рис. 3.6 плоскость общего положения задана треугольником АВС. Точки А, В, С принадлежат этой плоскости, так как являются вершинами треугольника из этой плоскости. Прямые (АВ), (ВС), (АС) принадлежат плоскости, так как по две их точки принадлежат плоскости. Точка N принадлежит (AC), D принадлежит (AB), E принадлежит (CD) и, значит, точки N и E принадлежат плоскости (DABC), тогда прямая (NE) принадлежит плоскости (DABC).

Если задана одна проекция точки L, например L2, и известно, что точка L принадлежит плоскости (DABC), то для нахождения второй проекции L1 последовательно находим (A2L2), K2, (A1K1), L1.

Если условие принадлежности точки плоскости нарушено, то точка не принадлежит плоскости. На рис. 3.6 точка R не принадлежит плоскости (DABC), так как R2 принадлежит (F2K2), а R1 не принадлежит (A1K1).

На рис. 3.7 приведен комплексный чертеж горизонтально проецирующей плоскости (DCDE). Точки K и P принадлежат этой плоскости, так как P1 и K1 принадлежат прямой (D1C1), являющейся горизонтальной проекцией плоскости (DCDE). Точка N не принадлежит плоскости, так как N1 не принадлежит (D1C1).

Все точки плоскости (DCDE) проецируются на П1 в прямую (D1C1). Это следует из того, что плоскость (DCDE) ^ П1. В этом же можно убедиться, если проделать для точки P (или любой другой точки) построения, которые были сделаны для точки L (рис. 3.6). Точка P1 попадет на прямую (D1C1). Таким образом, для того, чтобы определить принадлежность точки горизонтально проецирующей плоскости, фронтальная проекция (DC2D2E2) не нужна. Поэтому в дальнейшем проецирующие плоскости будут задаваться только одной проекцией (прямой линией). На рис. 3.7 показана фронтально проецирующая плоскость S, заданная фронтальной проекцией S2, а также точки A Î S и B Ï S.

Взаимное положение точки и плоскости сводится к принадлежности или не принадлежности точки плоскости.

При решении многих задач приходится строить линии уровня, принадлежащие плоскостям общего и частного положения. На рис. 3.8 показаны горизонталь h и фронталь f, принадлежащие плоскости общего положения (DABC). Фронтальная проекция h2 параллельна оси x, поэтому прямая h – горизонталь. Точки 1 и 2 прямой h принадлежат плоскости, поэтому прямая h принадлежит плоскости. Таким образом, прямая h – это горизонталь плоскости (DABC). Обычно порядок построения такой: h2; 12, 22; 11, 21; (1121) = h1. Фронталь f проведена через точку A. Порядок построения: f1 // x, A1Î f1; 31, 32; (A232) = f2.

На рис. 3.9 показаны проекции горизонтали и фронтали для фронтально проецирующей плоскости S и горизонтально проецирующей плоскости Г. В плоскости S горизонталь является фронтально проецирующей прямой и проходит через точку A (попытайтесь представить горизонталь как линию пересечения S и плоскости, проходящей через точку A параллельно П1). Фронталь проходит через точку С. В плоскости Г горизонталь и фронталь проведены через одну точку D. Фронталь является горизонтально проецирующей прямой.

Из рассмотренных выше построений следует, что линию уровня в плоскости можно провести через любую точку этой плоскости.

Совпадение плоскостей можно трактовать как принадлежность одной плоскости другой. Если три точки одной плоскости принадлежат другой плоскости, то эти плоскости совпадают. Упомянутые три точки не должны лежать на одной прямой. На рис. 3.10 плоскость (DDNE) совпадает с плоскостью S(DABC), так как точки D, N, E принадлежат плоскости S(DABC).

Читайте также:  Вылетает ворлд оф танкс что делать

Обратим внимание на то, что плоскость S, заданная DABC, теперь может быть задана DDNE. Любая плоскость может быть задана линиями уровня. Для этого необходимо через точку плоскости S(DABC) (например, через точку А) провести в плоскости горизонталь и фронталь, которые и будут задавать плоскость S (на рис. 3.10 построения не показаны). Последовательность построения горизонтали: h2 // x (A2 Î h2); K2 = h2 Ç B2C2; K1 Î B1C1 (K2K1 ^ x); A1K1 = h1. Последовательность построения фронтали: f1 // x (A1 Î f1); L1 = f1 Ç B1C1; L2 Î B2C2 (L1L2 ^ x); A2L2 = f2. Можно записать S(DABC) = S(h, f).

Признаки принадлежности хорошо известны из курса планиметрии. Наша задача рассмотреть их применительно к проекциям геометрических объектов.

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости.

Принадлежность прямой плоскости определяется по одному из двух признаков:

а) прямая проходит через две точки, лежащие в этой плоскости;

б) прямая проходит через точку и параллельна прямой, лежащим в этой плоскости.

Используя эти свойства, решим в качестве примера задачу. Пусть плоскость задана треугольником АВС. Требуется построить недостающую проекцию D1 точки D, принадлежащей этой плоскости. Последовательность построений следующая (рис. 2.5).

Рис. 2.5. К построению проекций точки, принадлежащей плоскости

Через точку D2 проводим проекцию прямой d, лежащей в плоскости АВС, пересекающую одну из сторон треугольника и точку А2. Тогда точка 12 принадлежит прямым А2D2 и C2В2. Следовательно, можно получить ее горизонтальную проекцию 11 на C1В1 по линии связи. Соединив точки 11 и А1, получаем горизонтальную проекцию d1. Ясно, что точка D1 принадлежит ей и лежит на линии проекционной связи с точкой D2.

Достаточно просто решаются задачи на определение принадлежности точки или прямой плоскости. На рис. 2.6 показан ход решения таких задач. Для наглядности изложения задачи плоскость задаем треугольником.

Рис. 2.6. Задачи на определение принадлежности точки и прямой плоскости.

Для того, чтобы определить принадлежит ли точка Е плоскости АВС, проведем через ее фронтальную проекцию Е2 прямую а2. Считая, что прямая а принадлежит плоскости АВС, построим ее горизонтальную проекцию а1 по точкам пересечения 1 и 2. Как видим (рис. 2.6, а), прямая а1 не проходит через точку Е1. Следовательно, точка Е АВС.

В задаче на принадлежность прямой в плоскости треугольника АВС (рис. 2.6, б), достаточно по одной из проекций прямой в2 построить другую в1* считая, что вАВС. Как видим, в1* и в1 не совпадают. Следовательно, прямая в АВС.

2.4. Линии уровня в плоскости

Определение линий уровня было дано ранее. Линии уровня, принадлежащие данной плоскости, называются главными. Эти линии (прямые) играют существенную роль при решении ряда задач начертательной геометрии.

Рассмотрим построение линий уровня в плоскости, заданной треугольником (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Построение главных линий плоскости, заданной треугольником

Горизонталь плоскости АВС начинаем с вычерчивания ее фронтальной проекции h2, которая, как известно, параллельна оси ОХ. Поскольку эта горизонталь принадлежит данной плоскости, то она проходит через две точки плоскости АВС, а именно, точки А и 1. Имея их фронтальные проекции А2 и 12, по линии связи получим горизонтальные проекции (А1 уже есть) 11. Соединив точки А1 и 11, имеем горизонтальную проекцию h1 горизонтали плоскости АВС. Профильная проекция h3 горизонтали плоскости АВС будет параллельна оси ОХ по определению.

Читайте также:  Что делать если забыл пароль от фейсита

Фронталь плоскости АВС строится аналогично (рис. 2.7) с той лишь разницей, что ее вычерчивание начинается с горизонтальной проекции f1, так как известно, что она параллельна оси ОХ. Профильная проекция f3 фронтали должна быть параллельна оси ОZ и пройти через проекции С3, 23 тех же точек С и 2.

Профильная линия плоскости АВС имеет горизонтальную р1 и фронтальную р2 проекции, параллельные осям OY и OZ, а профильную проекцию р3 можно получить по фронтальной, используя точки пересечения В и 3 с АВС.

При построении главных линий плоскости необходимо помнить лишь одно правило: для решения задачи всегда нужно получить две точки пересечения с данной плоскостью. Построение главных линий, лежащих в плоскости, заданной иным способом, ничуть не сложнее рассмотренного выше. На рис. 2.8 показано построение горизонтали и фронтали плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми аив.

Рис. 2.8. Построение главных линий плоскости, заданной пересекающимися прямыми.

1. Прямая принадлежит плоскости, если две ее точки принадле-

жат этой плоскости. На рис. 27, а плоскость α задана двумя пересекающимися прямыми a и b . Прямая n принадлежит данной плоскости,

так как имеет с ней две общие точки А и В : n α ( а ∩ b ).

2. Прямая принадлежит плоскости, заданной следами, если она проходит через две точки, расположенные на следах этой плоскости.

Эти две точки являются следами этой прямой.

Если прямая лежит в плоскости, то ее следы должны лежать на одноименных следах плоскости, так как горизонтальный след прямой М одновременно принадлежит и плоскости α , и плоскости проекций П 1 ( М ≡ М 1 α Π 1 ), а фронтальный след прямой N одновременно

принадлежит и плоскости α , и плоскости проекций П 2 ( N ≡ N 2 α Π 2 ) (рис. 27, б ).

Рис. 27. Принадлежность точки и прямой плоскости

Используя свойство п. 2, можно перейти от любого способа задания плоскости к заданию ее следами. Для этого необходимо определить следы прямых, например AB и BC , принадлежащих заданной плоскости ∆ ABC , и через них построить следы плоскости α (рис. 28).

Рис. 28. Задание плоскости ABC следами

3. Прямая принадлежит плоскости, если имеет с ней одну общую точку и параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Прямая m на рис. 27, а принадлежит плоскости α , так как имеет с ней одну общую точку В и параллельна прямой a , принадлежащей плоскости α : m α ( а ∩ b ).

4. Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой,

лежащей в этой плоскости. Точка C на рис. 27, а принадлежит плоскости α , так как она принадлежит прямой m , лежащей в этой плоскости: С m . Если точка принадлежит плоскости, то через нее можно провести бесчисленное множество прямых, принадлежащих этой плоскости.

4.5. Главные линии плоскости

Главные линии плоскости — это особые прямые, принадлежащие плоскости и позволяющие более точно выявить ориентацию плоскости в пространстве и упростить решение многих графических задач. К главным линиям плоскости относят линии уровня плоскости и линии наклона плоскостикплоскостям проекций(линии наибольшего ската).

Читайте также:  Что такое клиент в информатике

Линии уровня плоскости. Горизонталь — это прямая, которая принадлежит заданной плоскости α (∆ АВС ) и параллельна горизонтальной плоскости проекций П 1 (рис. 29, а ). Обозначается h .

Проекции горизонтали: h 1 — горизонтальная; h 2 — фронтальная. Построение горизонтали плоскости h надо начинать с ее фрон-

тальной проекции h 2 , так как h П 1 h 2 x , h 1 — н. в.

Фронталь — это прямая, которая принадлежит заданной плоскости α ( ∆АВС ) и параллельна фронтальной плоскости проекций П 2 (рис. 29, а ). Обозначается f .

Проекции фронтали: f 1 — горизонтальная; f 2 — фронтальная. Построение фронтали плоскости f надо начинать с ее горизон-

тальной проекции f 1 , так как f П 2 f 1 x , f 2 — н. в.

Рис. 29. Главные линии плоскости

Профильная прямая — это прямая, которая принадлежит заданной плоскости α ( ∆АВС ) и параллельна профильной плоскости проекций П 3 (рис. 29, а ). Обозначается p .

Проекции профильной прямой: p 1 — горизонтальная; p 2 — фронтальная.

Построение профильной прямой плоскости p надо начинать или с ее горизонтальной проекции p 1 , или с ее фронтальной проекции p 2 , так как p П 3 p 1 x и p 2 z , p 3 — н. в.

Рассмотрим плоскость α , заданную следами. Построим в этой плоскости горизонталь и фронталь. Следует отметить, что следы плоскости можно отнести к главным линиям плоскости. Так, расстояние от горизонтали до плоскости проекций П 1 равно значению z , а от фронтали до плоскости проекций П 2 равно значению y . Отсюда, горизонтальный след плоскости — это нулевая горизонталь плоскости ( α Π 1 ≡ h 0 ),

а фронтальный след плоскости — это нулевая фронталь плоскости ( α Π 2 ≡ f 0 ). Итак, если h α , h П 1 и h 2 0 x , то фронтальный след гори-

зонтали N ≡ N 2 α Π 2 , а проекция горизонтали h 1 α Π 1 (рис. 29, б ).

Аналогично, если f α , f П 2 и f 1 0 x , то горизонтальный след фронтали M ≡ M 1 α Π 1 , а проекция фронтали f 2 α Π 2 (рис. 29, б).

Отметим также, что если одна из проекций точки принадлежит следу плоскости, то другая ее проекция будет лежать на оси x . Верно и обратное утверждение.

Линии наклона плоскости к плоскостям проекций (линии наи-

большего ската). Линией наклона плоскости к плоскостям проекций

называют прямую, принадлежащую заданной плоскости α (∆ АВС ) и перпендикулярную или горизонтали, или фронтали плоскости.

Главным свойством линий наибольшего ската является то, что они образуют с горизонтальной плоскостью проекций П 1 и с фронтальной плоскостью проекций П 2 углы ϕ 1 и ϕ 2 , равные угламнаклона заданной плоскости к плоскостям проекций (рис. 30). Докажем это.

Пусть n — линия наибольшего ската, перпендикулярная горизонтали плоскости α (∆ АВС ): n h , а m — линия наибольшего ската, перпендикулярная фронтали плоскости α ( ∆АВС ): m f . Тогда, применяя тео-

рему о проецировании прямого плоского угла, получаем: если n h ,

а h П 1 n 1 h 1 ; если m f , а f П 2 m 2 f 2 . Выстраиваем оставшиеся проекции n 2 и m 1 . Методом прямоугольного треугольника определяем

натуральные величины прямых n и m . Угол, заключенный между натуральной величиной линии наибольшего ската n и ее проекцией n 1 , есть угол наклона ϕ 1 плоскости α ( ∆АВС ) к горизонтальной плоскости проекций П 1 . Угол, заключенный между натуральной величиной линии наибольшего ската m и ее проекцией m 2 , есть угол наклона ϕ 2 плоскости α ( ∆АВС ) к фронтальной плоскости проекций П 2 .

Ссылка на основную публикацию
Удалить одноклассники страницу с телефона айфон
Если вы хотите удалить свою страницу (профиль) в Одноклассниках, особенно если это требуется сделать со смартфона Android или iPhone —...
Тест автомобильных компрессоров за рулем
Жужжат много, а толку мало. Среди 12 образцов доступных (не дороже 2000 рублей) автомобильных компрессоров треть оказалась «неправильной». Стоит ли...
Тест железа в играх
Как найти игры для моего компьютера? На данной странице сервис выдаст полный список игр которые подходят вам исходя из параметров...
Удалить папку не удалось найти этот элемент
В этой инструкции подробно о том, как удалить файл или папку, если при попытке это сделать в Windows 10, 8...
Adblock detector