Студент разыскивает формулу в трех справочниках

Студент разыскивает формулу в трех справочниках

Проверьте, пожалуйста, задачи.

Задача 1:
Дано:
Из общего числа конденсаторов, находящихся в данной массе, 60% рассчитаны на рабочее напряжение — 200 В, 30% — на 400 В, а остальные на 600 В. Какова вероятность того, что первый взятый наугад конденсатор будет рассчитан на напряжение не менее 400 В?
Решение:
C – общее количество конденсаторов. Процент конденсаторов S, отвечающих условию задачи, равен 100%-60%, то есть 40%
Вероятность взять требующийся конденсатор `P =C/S= 40 /100=0.4`
Ответ: 0.4

Задача 2:
Дано:
Двор артсклада имеет размеры 240×50 м2. Какова должна быть площадь построенного в нем склада боеприпасов, чтобы вероятность попадания в него бомбой, попавшей во двор, не превышала 3,5%?
Решение:
G – площадь всего склада, А – площадь склада, P(A)=0.035.
Так как `P(A)=m(A)/m(G)`, то искомая площадь определяется следующим образом:
`m(A)=P(A)*m(G)=240*50*0.035=420` м2
Ответ: 420 м2

Задача 3:
Дано:
Передача принимается на два приемника с разнесенными антеннами. Вероятность безошибочного приема на первый приемник равна 0,7, а на второй — 0,85. События, состоящие в приеме передачи каждым приемником, предполагаются независимыми. Прием считается состоявшимся, если сообщение было правильно принято хотя бы одним приемником. Определить вероятность правильного приема сообщения.
Решение:
А – приём первой антенной, В – приём второй. События независимы, т.е. `P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)= 0.7+0.85-0.595=0.955`
Ответ: 0.955

Задача 4:
Дано:
Студент разыскивает нужную формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором, третьем справочниках соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится во всех трех справочниках.
Решение:
А – формула содержится в первом справочнике; В – формула содержится во втором справочнике; С – формула содержится в третьем справочнике.
Воспользуемся теоремой умножения вероятностей:
`P(ABC)=0.6*0.7*0.8=0.336`
Ответ: 0.336

Задача 5:
Дано:
Минная позиция состоит из трех сомкнутых участков заграждения, протяженность которых вдоль фронта: Л[ = 1,2 км, Лг = 3,6 км, Лз = 2,4 км. Соответствующие вероятности подорваться на этих участках 0,82; 0,65; 0,37. Какова вероятность подорваться при форсировании этой позиции?
Решение:
Используем геометрическое представление вероятности:
`P(D)=G(D)/G(S)`, где `G(S)` – общая площадь участков, G(D) – площадь позиций с минами.
`P(D)=(P(A)*G(A)+P(B)*G(B)+P(C)*G(C))/(G(A)+G(B)+G(C))=6.6/7.2=0.916`
Ответ: 0.916

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Пусть событие В состоит в том, что второй извлеченный шар окажется белым. Вероятность события В можно определить по формуле полной вероятности, причем условные вероятности Р(H1/А) и Р(H2) становятся априорными для события В, поэтому

1. Когда возможно равенство АВ = А?

Ответ: событие А – частный случай события В.

2. Упростить выражение А = (В + С) (В +) (+ С).

3. Доказать, что = А + В и .

4. Когда возможны равенства: а) А + В = , б) АВ = , в) А + В = АВ?

Ответ: а) А невозможное, а В достоверное;

б) А достоверное, а В невозможное;

5. Найти случайное событие Х из равенства: .

Ответ:

6. Доказать, что и что А, образуют полную группу.

7. Судно имеет одно рулевое устройство, четыре котла и две турбины. Событие А означает исправность рулевого устройства, Вk (k = 1, 2, 3, 4) – исправность k-го котла, СJ(j = 1, 2) – исправность jй турбины. Событие D – управляемое судно будет в том случае, когда исправны рулевое устройство, хотя бы один котел и хотя бы одна турбина. Выразить события и через А, Вk и СJ.

Ответ: D = А(В1 + В2 + В3 + В4) (С1 + С2),

8. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается сданным, если студент ответит на 3 из 4 поставленных вопросов. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет?

Ответ: р = 2109/2530 ≈ 0,834.

9. Два стрелка, для которых вероятности попадания в мишень равны соответственно 0,7 и 0,8, производят по одному выстрелу. Определить вероятность хотя бы одного попадания в мишень.

10. Вероятность поражения первой мишени для стрелка равна 2/3. Если при первом выстреле зафиксировано попадание, то стрелок получает право на второй выстрел по другой мишени. Вероятность поражения обеих мишеней при двух выстрелах равна 0,5. Определить вероятность поражения второй мишени.

Читайте также:  Размер экрана samsung galaxy s7 edge

11. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором, третьем справочнике соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится: а) только в одном справочнике; б) только в двух справочниках; в) во всех трех справочниках.

Ответ: а) р = 0,188; б) р = 0,452; в) р = 0,336.

12. Студенты выполняют контрольную работу в классе контролирующих машин. Работа состоит из трех задач. Для получения зачета достаточно решить две задачи. Для каждой задачи зашифровано пять различных ответов, из которых только один правильный. Студент Петров плохо знает материал и поэтому выбирает ответы для каждой задачи наудачу. Какова вероятность того, что он получит зачет?

В задачах 13–17 приведены схемы соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Считаются известны надежность pk k-го элемента и, соответственно, qk = (1 — pk) – вероятность его отказа. Отказ любого элемента приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вычислить надежность p каждой из схем.

13.

Ответ: р = 1 – (1 – р1р2р3) (1 – р4р5р6).

15.

16.

17.

18. За некоторый промежуток времени бактерия может погибнуть с вероятностью 1/4, выжить с вероятностью 1/4 и разделиться на две с вероятностью 1/2. В следующий такой же промежуток времени с каждой бактерией, независимо от ее происхождения, случается то же самое. Сколько бактерий и с какими вероятностями могут существовать к концу второго промежутка времени?

Ответ: могут существовать 0, 1, 2, 3, 4 бактерии соответственно с вероятностями 11/32, 4/32, 5/32, 4/32 и 4/32.

19. Иван и Петр по очереди каждый по m раз бросают по две игральные кости. Выигрывает тот, у кого раньше выпадет сумма очков на обеих костях, равная 8. Иван бросает первым. Найти вероятности р1 и р2 выигрыша для каждого игрока и определить, во сколько раз шансы на выигрыш Ивана выше, чем у Петра, если: а) число бросаний не ограничено и m =1; б) число бросаний не ограничено, но m = 2.

Ответ: а) р1 = 36/67; р2 = 31/67; р1/р2 = 36/31 ≈ 1,16;

б) р1 =362/(362 + 312) ≈ 0,574; р2 = 312/(362 + 312) ≈ 0,426; р1/р2 = 62/312 ≈ ≈ 1,35.

20. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить 4 бомбы, вероятности попаданий которых соответственно равны 0,3; 0,4; 0,5 и 0,6.

21. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9919. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

22. В продажу поступают телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит 20 % телевизоров со скрытым дефектом, второго – 10 %, третьего – 5 %. Какова вероятность приобрести исправный телевизор, если в магазин поступили 30 % телевизоров с первого завода, 20 % – со второго и 50 % – с третьего?

23. По самолету производятся три одиночных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4, при втором – 0,5, при третьем – 0,7. Для выхода самолета из строя заведомо достаточно трех попаданий; при одном попадании самолет выходит из строя с вероятностью 0,2, а при двух попаданиях с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет выведен из строя.

24. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что будет взят не белый шар.

25. В первой урне содержится 6 белых и 4 черных шара, во второй урне 3 белых и 2 черных, из первой урны наудачу извлекают сразу 3 шара, и шары того цвета, которые окажутся в большинстве, опускают во вторую урну и тщательно перемешивают. После этого из второй урны наудачу извлекают 1 шар. Какова вероятность того, что этот шар будет белым?

Читайте также:  Мясо индейки механической обвалки что это

Ответ: р = 349/560 ≈ 0,623.

26. Для поиска месторождения нефти на заданной территории организовано n геологических партий, каждая из которых не зависимо от других обнаруживает залежь с вероятностью р. После обработки и анализа сейсмографических записей вся территория была поделена на два района. В первом районе нефть может залегать с вероятностью р1, а во втором – с вероятностью 1 — р1. Как следует распределить n геологических партий по двум районам, чтобы вероятность обнаружения нефти была максимальной?

Ответ: в первый район следует послать k геологических партий, где k – ближайшее целое к числу [n/2 + (ln((1 – р1)/р1))/2ln(1 – р)]. Пусть событие А – на заданной территории нефть обнаружена. Тогда

Р(А) = 1 – р1(1 – р)k – (1 – р1) (1 – р)nk , где k – число геологических партий, посланных в первый район. Далее рассмотреть функцию

27. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятней: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?

Ответ: вероятнее, что винтовка была без оптического прицела (вероятность того, что винтовка была без оптического прицела, равна 24/43, а с оптическим прицелом – 19/43).

28. Три стрелка производят по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятности попадания в мишень при одном выстреле для каждого из стрелков соответственно равны р1, р2, р3. Какова вероятность того, что второй стрелок промахнулся, если после выстрелов в мишени оказалось две пробоины?

29. В группе из 25 человек, пришедших сдавать экзамены по теории вероятностей, имеется 10 отличников, 7 подготовленных хорошо, 5 удовлетворительно и 3 человека подготовлены плохо. Отличники знают все 25 вопросов программы, хорошо подготовленные – 20, подготовленные удовлетворительно – 15, плохо подготовленные знают лишь 10 вопросов. Вызванный наудачу студент ответил на 2 заданных вопроса. Найти вероятности следующих событий: S1 = <студент подготовлен отлично или хорошо), S2 = <студент подготовлен удовлетворительно>, S3 = <студент подготовлен плохо>.

30. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 – с вероятностью 0,7; 4 – с вероятностью 0,6; 2 – с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?

Ответ: стрелок из второй группы.

§ 3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ

3.1. Повторение опытов. Формула Бернулли

При практическом применении теории вероятностей часто приходится встречаться с задачами, в которых один и тот же опыт или аналогичные опыты повторяются неоднократно.

В результате каждого опыта может появиться или не появиться событие А, причем нас будет интересовать не результат каждого опыта, а общий результат, то есть число появлений события А в данной серии опытов.

Например, если производится несколько выстрелов по мишени, то нас будет интересовать не результат каждого выстрела, а общее число попаданий. В подобных задачах нужно уметь находить вероятность любого числа появлений события А. Эти задачи решаются весьма просто, если опыты независимы. Опыты являются независимыми, если исход каждого опыта не зависит от исхода других. Например, несколько последовательных бросаний монеты представляют собой независимые опыты. Если вероятность появления события А в каждом опыте неизменна, т. е. условия опытов одинаковы, то к этому случаю относится частная теорема о повторении опытов. Если же вероятность появления события А от опыта к опыту изменяется, т. е. условия опытов различны, то к этому случаю относится общая теорема. Опыты (испытания), в которых вероятность появления события А остается неизменной, называются испытаниями Бернулли. В каждом испытании Бернулли возможны два и только два исхода – появление события А («успех») и непоявление события А («неудача»). Вероятности «успеха» и «неудачи» обозначаются соответственно буквами p и q. Очевидно, что p + q = 1.

Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых может появиться событие А с вероятностью, равной р и, следовательно, с вероятностью, равной q = 1 – р, событие А может не появиться. Определим вероятность Рn(m) того, что в этих n испытаниях событие А появится ровно m раз. Рассмотрим событие Bm, состоящее в том, что в n испытаниях событие А появится ровно m раз и, следовательно, nm раз событие А не появится.

Читайте также:  Как загружать больше 150 мб на ios

Обозначим через Аi появление события А в i-м опыте, а через – непоявление события А в iм опыте. Тогда

причем в каждое произведение событие А должно входить m раз, а должно входить nm раз. Число таких слагаемых равно, то есть чис-

лу способов, какими можно из n опытов выбрать m, в которых произошло событие А. По теоремам умножения и сложения вероятностей имеем:

.

Таким образом, имеем следующую теорему: если производится n независимых опытов, в каждом из которых событие А появится с вероятностью, равной р, то вероятность того, что событие А появится ровно m раз, выражается формулой Бернулли

, (3.1)

.

В связи с тем, что вероятности, определяемые формулой (3.1), представляют собой члены разложения бинома (q + p)n, то распределение (3.1) называется биномиальным распределением.

Возьмем теперь вспомогательную переменную z и заметим, что величина представляет собой общий член разложения функции по формуле бинома Ньютона. Функция называется производящей функцией биномиального распределения вероятностей.

Таким образом, вероятность Рn(m) представляет собой коэффициент при zm в разложении функции по степеням z.

Формула (3.1) легко обобщается на случай, когда вероятность события А имеет различные значения в разных опытах. Если опыты независимы и вероятность события А в i-м опыте равна pi, qi = 1 – pi (i = 1, 2, …, n), то вместо (3.1) совершенно аналогично получается формула:

(3.2)

Легко заметить, что вероятность Pn(m) в этом случае представляет коэффициент при zm в разложении по степеням z производящей функции Отметим, что сумма всех вероятностей Pn(m) (m = 0, 1, …, n) как в частном случае (формула 3.1), так и в общем случае (формула 3.2) равна единице: .

При решении многих практических задач, кроме вероятности Pn(m) (вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит ровно m раз), приходится рассматривать вероятность того, что событие А появится не менее m раз. Эта вероятность Pn(m, n), очевидно, равна:

(3.3)

Если m меньше половины n, то удобнее переходить к противоположному событию и вычислить вероятность Pn(m, n) по формуле:

(3.4)

Пример 1. Что вероятнее выиграть у равносильного противника (ничейный исход партий исключен): а) две партии из четырех или четыре партии из восьми; б) не менее двух партий из четырех или не менее четырех партий из восьми?

Решение. Так как противники равносильные, то вероятности выигрыша и проигрыша каждой партии одинаковы и равны p = q = 0,5.

1. Вероятность выиграть две партии из четырех:

.

Вероятность выиграть четыре партии из восьми:

Так как , то вероятнее выиграть две партии из четырех.

2. Вероятность выиграть не менее двух партий из четырех:

.

Вероятность выиграть не менее четырех партий из восьми:

Так как , то вероятнее выиграть не менее двух партий из четырех.

Пример 2. Подводная лодка атакует корабль, выпуская по нему последовательно и независимо одну от другой 5 торпед. Каждая торпеда попадает в корабль с вероятностью 0,4. При попадании торпеды с вероятностью 0,2 затопляется один из пяти отсеков корабля. Определить вероятность гибели корабля, если для этого необходимо затопление не менее двух отсеков.

Ответ или решение 1

  • A1, A2 и A3 — события, заключающиеся в том, что нужная формула находится в первом, втором или третьем справочниках соответственно.
  • A1′, A2′, A3′ — соответствующие противоположные события;
  • P(A1) = 0,6;
  • P(A2) = 0,7;
  • P(A3) = 0,8.
  • P(A1′) = 0,4;
  • P(A2′) = 0,3;
  • P(A3′) = 0,2.

2. Событие X, что формула содержится не менее, чем в двух справочниках, равна сумме несовместимых событий, что формула находится ровно в двух (X2) или во всех (X3) справочниках:

  • X = X2 + X3;
  • P(X2) = P(A1) * P(A2) * P(A3′) + P(A1) * P(A2′) * P(A3) + P(A1′) * P(A2) * P(A3);
  • P(X2) = 0,6 * 0,7 * 0,2 + 0,6 * 0,3 * 0,8 + 0,4 * 0,7 * 0,8 = 0,084 + 0,144 + 0,224 = 0,452;
  • P(X3) = P(A1) * P(A2) * P(A3);
  • P(X3) = 0,6 * 0,7 * 0,8 = 0,336;
  • P(X) = P(X2) + P(X3);
  • P(X) = 0,452 + 0,336 = 0,788.
Ссылка на основную публикацию
Стабилизированная платформа отражатель fallout 4 как подключить
При прохождении задания «Молекулярный уровень» нужно будет сделать перехватчик, а также провести питание для его включения. Используя данную статью вы...
Современные компьютерные игры для детей
Ori and The Blind Forest - красочный мультяшная платформер от американской компании Moon Studios. Игра базируется на трогательной истории жизни...
Современные роботы для дома
Trimbot, этот робот поддерживает в порядке ваш сад Trimbot уже предварительно запрограммирован с грубым контуром сада, что поможет в навигации....
Стадионные новости каждый день
"Стадионы Мира" - лучшее сообщество, посвященное мировым спортивным аренам и околоспортивной тематике. Подписавшись на нас, вы не пропустите ни одной...
Adblock detector