Следствия из аксиом действительных чисел

Следствия из аксиом действительных чисел

На множестве вещественных чисел, обозначаемом через (так называемую R рубленую), введена операция сложения («+»), то есть каждой паре элементов (x,y) из множества вещественных чисел ставится в соответствие элемент x + y из этого же множества, называемый суммой x и y .

  1. (коммутативность сложения);
  2. (ассоциативность сложения);
  3. (существование нейтрального элемента по сложению — нуля);
  4. (существование противоположного элемента).

Аксиомы умножения

На введена операция умножения («·»), то есть каждой паре элементов (x,y) из множества вещественных чисел ставится в соответствие элемент (или, сокращённо, xy ) из этого же множества, называемый произведением x и y .

  1. (коммутативность умножения);
  2. (ассоциативность умножения);
  3. (существование нейтрального элемента по умножению — единицы);
  4. (существование обратного элемента).

Связь сложения и умножения

  1. (дистрибутивность относительно сложения).

Аксиомы порядка

На задано отношение порядка «» (меньше или равно), то есть для любой пары x, y из выполняется хотя бы одно из условий или .

  1. (рефлексивность порядка);
  2. (транзитивность порядка);
  3. (антисимметричность порядка).

Связь отношения порядка и сложения

.

Связь отношения порядка и умножения

.

Аксиома непрерывности

.

Комментарий

Эта аксиома означает, что если X и Y — два непустых множества вещественных чисел такие, что любой элемент из X не превосходит любого элемента из Y, то между этими множествами можно вставить вещественное число. Для рациональных чисел эта аксиома не выполняется; классический пример: рассмотрим положительные рациональные числа и отнесём к множеству X те числа, квадрат которых меньше 2, а прочие — к Y. Тогда между X и Y нельзя вставить рациональное число ( не является рациональным числом).

Эта ключевая аксиома обеспечивает плотность и тем самым делает возможным построение математического анализа. Для иллюстрации её важности укажем на два фундаментальных следствия из неё.

  • Каждая неубывающая ограниченная сверху последовательность в имеет предел.
  • Если непрерывное отображениеf(x) на концах интервала имеет значения разного знака, то уравнение f(x) = 0 внутри интервала имеет вещественное решение.

Следствия аксиом

Непосредственно из аксиом следуют некоторые важные свойства вещественных чисел, например,

  • единственность нуля,
  • единственность противоположного и обратного элементов.

Литература

  • Зорич В. А.Математический анализ. Том I. М.: Фазис, 1997, глава 2.

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Аксиоматика вещественных чисел" в других словарях:

Вещественное число — Вещественное, или действительное число [1] математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение… … Википедия

Вещественная переменная — Вещественные, или действительные[1] числа математическая абстракция, служащая, в частности, для представления и сравнения значений физических величин. Такое число может быть интуитивно представлено как описывающее положение точки на прямой.… … Википедия

Вещественная прямая — Вещественные, или действительные[1] числа математическая абстракция, служащая, в частности, для представления и сравнения значений физических величин. Такое число может быть интуитивно представлено как описывающее положение точки на прямой.… … Википедия

Читайте также:  Как сделать колонки в повер поинте

Вещественные числа — Вещественные, или действительные[1] числа математическая абстракция, служащая, в частности, для представления и сравнения значений физических величин. Такое число может быть интуитивно представлено как описывающее положение точки на прямой.… … Википедия

Действительная прямая — Вещественные, или действительные[1] числа математическая абстракция, служащая, в частности, для представления и сравнения значений физических величин. Такое число может быть интуитивно представлено как описывающее положение точки на прямой.… … Википедия

Действительное число — Вещественные, или действительные[1] числа математическая абстракция, служащая, в частности, для представления и сравнения значений физических величин. Такое число может быть интуитивно представлено как описывающее положение точки на прямой.… … Википедия

Действительные числа — Вещественные, или действительные[1] числа математическая абстракция, служащая, в частности, для представления и сравнения значений физических величин. Такое число может быть интуитивно представлено как описывающее положение точки на прямой.… … Википедия

Реальные числа — Вещественные, или действительные[1] числа математическая абстракция, служащая, в частности, для представления и сравнения значений физических величин. Такое число может быть интуитивно представлено как описывающее положение точки на прямой.… … Википедия

Аксиома — В Викисловаре есть статья «аксиома» Аксиома (др. греч … Википедия

Аксиома непрерывности — аксиома, которая встречается в различных аксиоматических системах. Аксиоматика вещественных чисел Аксиоматика Гильберта Евклидовой геометрии Аксиоматика Колмогорова теории вероятностей … Википедия

R задаётся аксиоматически 5 группами аксиом:

1) 1) аксиомы сложения

· 1. x+y=z для x,y R существует единственный z R

· 2. (x+y)+z=x+(y+z) для x,y,z R

· 3. x+y=y+x для x,y R

· 4. x+0=x для x R

· 5. x+x’=0 (для x R существует x’ R, противоположный x)

2) аксиомы умножения

· 1. x*y=z для x,y R существует единственный z R

· 2. (x*y)*z=x*(y*z) для x,y,z R

· 3. x*y=y*x для x,y R

· 4. x*1=1*x=x (1 R, 1≠0) для x R

· 5. x≠0 x*x’=1 (для x,y R (x≠0) существует x’ R, x’ – обратный элемент для x)

· 3) аксиомы порядка

1. а R a≤a

2. а,b R a≤b b≤a a=b

3. а,b,с R a≤b b≤с a≤с

· 1. a,b,c R (a+b)*c=a*c+b*c

· 2. а,b,с R a≤b a+с ≤ b+с

· 3. а,b,с R (a≤b и c≥0) a*c≤b*с ; (a≤b и c≤0) a*c≥b*с

Из аксиом связи вытекает плотность R, т.е. если r R и r’ R, r≤r’, то с R : r≤c≤r’

5) аксиома непрерывности или акс. Дедекинда:

Если А R и B R : а A и b B, a≤b, то с R : a≤c≤b

Лемма Кантора: Любая система вложенных отрезков имеет непустое пересечение.

Дано: а1≤а2≤…≤аn , b1≥b2≥…≥bn , n N

[a1,b1] [a2,b2] [a3,b3] [an,bn]

Доказать: с R : с пересечению системы вл-х отр.[an,bn]

Доказательство: Пусть задана система вложенных отрезков. Обозначим через А множество всех левых концов am отрезков системы, а через В – множество их правых концов bn.

Читайте также:  Теккен 7 как открыть бойцов

Для любых номеров m и n выполняется неравенство am≤bn.

По свойству непрерывности дейст-х чисел с: для m,n выполняется am≤с≤bn , а значит и an≤с≤bn , n=1,2,…

След-но, т.С принадлежит всем отрезкам [an,bn], что и треб.док-ть.

Следствие: Если в сис-ме влож-х отр-ков длина отрезка→0 при n→ , то в пересечении будет единственная точка С.

Натуральное число – всякое число натурального ряда. Натуральный ряд – последовательность целых положительных чисел, расположенных в порядке их возрастания: 1, 2, 3, …, n, …

Всякое множество, эквивалентное мн-ву чисел натур-го ряда, наз-ся счетным. Пр.: множ-во полож-х чисел.

Натур-е числа определ-ся системой аксиом Пеано:

Натуральными числами наз-ся эл-ты непустого мн-ва N, в к-ром отношение «следует за», удовл-е след-м аксиомам:

1. число 1, не следующее ни за каким числом

2. Для числа а следующее за ним а* и притом только одно, т.е. а=b a*=b*

3. число следует не более чем за одним числом, т.е. а*=b* a=b

4. (Аксиома индукции): Пусть любое множ-во М натур-х чисел обладает свойствами:

1) единица М 2). Если число а М, то а*=а+1 также М.

Тогда М содержит все натур-е числа, т.е. мн-во N совпадает с М.

Принцип матем-й инд-ции: Если предлож-е A(n), где n N, истинно для n=1 и из предположения о том, что оно истинно для n=k, вытекает, что оно истинно для следующего числа n=k+1, то предл-е верно для любого n N.

Доказ-во, основанное на принципе МИ, наз-ся методом матем-й индук-и.

Пр-р: 1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 = Док-м утвержд-е ММИ.

1). Для n=1 высказ-е А(1) истинно

2). Док-м, что A(k) A(k+1). Предпол-м, что рав-во верно при n=k, док-м для n=k+1:

1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 = +(k+1) 2 = .

Упрощаем дробь. Получим . След-но, рав-во справедливо для n N.

N – натуральные числа

Z – целые = N N — <0>=

Q – < , m Z, n N> – рациональные

I – иррациональные числа, непредставимы в виде .

Любое рацион-е число представимо в виде бесконечной десятичной периодич-й дроби, а иррац-е – бескон-й десятич-й непериод-й дробью (Теория Вейерштрасса).

N Z Q R; Q I=R ; A T=R (А-алгебраические, Т-трансцендентные числа)

Число R наз-ся алгебраич-ким, если оно явл-ся корнем ур-я вида

anx n +an-1x n -1 +…+a1x+a=0, коэф-ты к-рого целые числа, не обращающиеся одновременно в 0.

Пр-1: x-5=0; 5 A Пр-2: ; x 2 =2; x 2 -2=0; A

Пр-3: Пр-4: е х Т, х≠0 Пр-5: (a А, b I) a b T T

Множество М наз-ся счетным по мощности, если оно эквивалентно мн-ву натур-х чисел. χ-обознач-е счетного мн-ва (это мн-ва N, Z, Q, A).

Мощность множества точек отрезка [0,1] наз-ся мощностью континуума и обозн-ся С.

Читайте также:  Как вернуть старую страницу в лайке

Мощность континуума имеют мн-ва R, I, T.

Теория действит-х чисел возникла в сер. 19 в., когда почти одновременно были построены 3 теории действительного числа:

1). Научная школа Вейерштрасса – представление действ-го числа в виде бескон-й десятичной дроби.

2). Теория Кантора – построение фундаментальной последовательности рац-х чисел (любая фундаментальная последовательность сходится, а также принцип Архимеда: Для любых 2-х отрезков натур-е число n : произвед-е длины меньшего отр-ка на n превзойдет длину большего отр-ка).

3). Теория Дедекинда – построение сечений на мн-ве рац-х чисел. Суть метода: Мн-во Q разбив-ся на 2 неперес-ся класса А и В : а А

Эти 3 теории отлич-ся только аксиомами непрерывности (5-я группа аксиом).

Определение 1.1. Непустое множество $mathbb $ называется множеством действительных (вещественных) чисел, если на нём заданы операции сложения ($+colon mathbb imes mathbb o mathbb $),
умножения ($ imes colon mathbb
imes mathbb o mathbb $) и отношения порядка, удовлетворяющее следующим аксиомам:

$forall a, b in mathbb colon a + b = b + a$.

$forall a, b in mathbb colon (a + b) + c = a + (b + c)$.

$exists 0 in mathbb forall a in mathbb colon a + 0 = a$.

$forall ain mathbb exists (-a) in mathbb colon a + (-a) = 0$.

$forall a, bin mathbb colon ab = ba$.

$forall a, b, c in mathbb colon (ab)c = a(bc)$.

$exists 1 in mathbb ackslash < 0> forall a in mathbb colon acdot 1 = a$.

$forall a in mathbb ackslash < 0> exists frac1a in mathbb colon a cdot frac1a = 1$.

$forall a, b, c in mathbb colon (a + b)c = ac + bc$.

$forall a, b in mathbb colon a leqslant b lor b leqslant a$.

$forall a, b in mathbb colon (a leqslant b land b leqslant a) Rightarrow a = b$.

$forall a, b, c in mathbb colon (a leqslant b land b leqslant c) Rightarrow a leqslant c$.

$forall a, b, c in mathbb colon (a leqslant b Rightarrow a + c leqslant b + c)$.

$forall a, b, c in mathbb , c geqslant 0 colon (a leqslant b Rightarrow ac leqslant bc)$.

(Аксиома непрерывности) Пусть $A$ и $B$ такие непустые подмножества $mathbb $, что

$forall a in A, b in Bcolon aleqslant b$. Тогда $exists c in mathbb forall a in A, b in Bcolon a leqslant c leqslant b$.

Замечание. $a leqslant b Leftrightarrow b geqslant a$. $a leqslant b$ при $a
eq b Leftrightarrow a a$.

В $mathbb $ существует единственный $0$.

$lacktriangle $ Пусть $exists 0_1, 0_2$. Тогда $0_1 = 0_1 + 0_2 = 0_2$. $lacksquare $

$forall a in mathbb colon acdot 0 = 0$.

$lacktriangle $ $a0 = a(0 + 0) = a0 + a0$.

$a0 — a0 = a0 + (a0 — a0)$.

$0 = a0$. $lacksquare $

$forall ain mathbb colon (-1)(-a) = a$.

$lacktriangle $ $(-1)(-a) = -(-a)$.

$-a + a = 0 Rightarrow a = -(-a)$. $lacksquare $

$0 $lacktriangle $ Пусть $0 geqslant 1 Rightarrow (-1) + 0 geqslant 1 + (-1) Rightarrow -1 geqslant 0 Rightarrow (-1)(-1) geqslant 0(-1) Leftrightarrow 1 geqslant 0$ . $lacksquare $

Ссылка на основную публикацию
Сколько концовок в dishonored
Большинство игроков проходя Dishonored буквально шинковало противников налево и направо, часто даже игнорируя шикарный стелс и поиск рун силы. На...
Сериалы похожие на след
Сериалы похожие на След В интернете можно часто увидеть вопросы с просьбой подсказать, какие фильмы похожи на сериал "След". И...
Символ приблизительно равно в ворде
Также статьи о работе с символами в Ворде: По тексту иногда приходится устанавливать различные математические знаки. Какие-то из них можно...
Следствия из аксиом действительных чисел
На множестве вещественных чисел, обозначаемом через (так называемую R рубленую), введена операция сложения («+»), то есть каждой паре элементов (x,y)...
Adblock detector