Ряд фурье в матлабе

Ряд фурье в матлабе

Программа для вычисления коэффициентов ряда

ряд фурье тригонометрический matlab

Разложение функции в тригонометрический ряд Фурье

%тригонометрический ряд Фурье с четырьмя приближениями

k1=k1+an*cos (n*t/2)+bn*sin (n*t/2);

k2=k2+an*cos (n*t/2)+bn*sin (n*t/2);

k3=k3+an*cos (n*t/2)+bn*sin (n*t/2);

k4=k4+an*cos (n*t/2)+bn*sin (n*t/2);

plot (t, f1,’r’, t, f2,’k’, t, f3,’g’, t, f4,’m’, x1, y1,’b’);

legend (‘1-e priblizhenie’, ‘2-e priblizhenie’, ‘3-e priblizhenie’, ‘4-e priblizhenie’, ‘f(t)=-sin (t/4)’);

function varargout = scribemethod(varargin)

% SCRIBEMETHOD — gets the scribe object that contains the hg object

% h and calls that objects method with fcn and varargin

% Copyright 1984-2003 The MathWorks, Inc.

% nargin can be 2 or 3 (not called from function handle callback) or 4 or 5

% (from function handle callback).

args = varargin (n+2:nargin);

ishandle(h), return; end

if isequal (get(h, ‘Type’), ‘figure’)

% if a figure is passed its a scribe overlay method

obj = handle (getappdata(double(h), ‘Scribe_ScribeOverlay’));

elseif isa (h, ‘scribe.scribeaxes’)

% scribeaxes, colorbar and legend it is the object itself

% other scribe objects it is their parent group

Разложение функций в ряд Фурье

Многие сигналы, применяемые в электротехнике и радиосвязи, имеют циклический характер. Для их представления в виде непрерывных аналитических функций используют тригонометрический ряд Фурье.

Периодическая функция f(x) с периодом 2L может быть разложена в тригонометрический ряд Фурье вида

где а, аk и bk являются коэффициентами Фурье и определяются по формулам Эйлера-Фурье:

Так как на практике количество гармоник ряда Фурье всегда ограничено конечным числом, то это порождает волнообразный характер изменения сигнала и появление выбросов, что известно под названием эффекта Гиббса. Эффект состоит в том, что приближенные значения функции вблизи точек разрыва первого рода колеблются и увеличивается разница между точным и приближенным значением функции.

Разложение функции в ряд Фурье в MATLAB

Задание. Разложить в ряд Фурье на отрезке [-p, p] меандр, заданный с помощью следующей формулы:

График функции f(x) изображен на рис.1.

Читайте также:  Как узнать свой ник в телеграмме

Решение. Разложение периодической кусочно-непрерывной функции в MATLAB осуществляется по шагам:

1. Формирование символьных переменных, которые будут использоваться как при создании функции, так и при ее разложении в ряд. Обычно, в качестве таких символьных переменных выступают: аргумент функции x, номер членов ряда k, символьное представление числа p и граница диапазона T.

2. Создание аналитической записи для заданной функции. При создании функции можно либо использовать стандартные функции ППП Symbolic Math, либо напрямую вводить команды в ядро Maple.

3. Определение коэффициента а.

4. Получение аналитического выражения для коэффициентов аk.

5. Формирование аналитического выражения для коэффициентов bk.

6. Получение тригонометрических рядов Фурье с различным числом членов ряда.

7. Построение графиков функции f(x) и ее разложений в ряд Фурье с различным числом членов ряда.

8. Анализ полученных результатов.

Выполним разложение заданной функции f(x) в ряд Фурье:

1. Создадим символьные переменные x (независимая переменная), k (количество членов ряда) и pi (символьное обозначение p), которые будем использовать в командах MATLAB при реализации разложения функции f(x) в ряд Фурье.

2. Используя прямое обращение к ядру Maple, зададим кусочно-линейную функцию f(x) с помощью стандартной функции piecewise:

3. Вычислим коэффициент а:

Так как коэффициент а равен 1, то в ряде Фурье будет присутствовать постоянное слагаемое ½.

4. Определим коэффициент аk:

Так как аргументом функции синуса является произведение числа p на номер члена ряда, то все коэффициенты аk будут равны нулю.

Так как аргумент функции косинуса представляет собой произведение числа p на номер члена ряда, то все четные коэффициенты bk будут равны нулю, а нечетные – отношению 2/(p k), где k – номер члена ряда (1, 3, 5, …).

6. Выполним разложение в ряд Фурье функции f(x) до четвертого члена ряда включительно. При разложении в ряд Фурье используется стандартная функция ППП Symbolic Math symsum, предназначенная для вычисления сумм, заданных в символьном виде.

Читайте также:  Как переустановить ios на ipad

>> sum4 = a_0/2 + symsum(a_k*cos(k*x) + .

Аналитическое выражение функции f(x), вычисленное с помощью четырех членов ряда Фурье, состоит из трех слагаемых, так как .

Выполним разложение в ряд Фурье функции f(x) до девятого члена ряда включительно.

>> sum9 = a_0/2 + symsum(a_k*cos(k*x)+. b_k*sin(k*x),k,1,9);

sin(5 x) sin(7 x) sin(9 x)

Аналитическое выражение функции f(x), представленное в виде ряда Фурье с девятью членами ряда, состоит из шести слагаемых.

7. Построим графики точной функции (зеленый) и рядов Фурье с четырьмя (синий) и девятью членами (красный).

>> clear pi % удаление символьного объекта pi

>> % построение ряда Фурье с четырьмя членами ряда

>> ezplot(sum4) % диапазон от – 2pi до 2pi

>> % задание сетки и режима наложения графиков

>> grid on, hold on

>> % построение ряда Фурье с девятью членами ряда

>> ezplot(sum9) % диапазон от –2pi до 2pi

>> % задание числовых значений функции f(x)

>> % в MATLAB на отрезке от –2pi до 2pi

>> xd=[-2*pi -pi -pi 0 0 pi pi 2*pi];

>> yd=[1 1 0 0 1 1 0 0];

>> % построение графика функции зеленым цветом

Графики сумм и исходной функции изображенны на рис.2.

8. Получили разложение периодической кусочно-непрерывной функции f(x) в ряд Фурье. При увеличении членов ряда Фурье вблизи точек разрыва на графике можно увидеть существенные отклонения значений ряда от значений функции, т. н. эффект Гиббса.

Преобразования Фурье. Функции одномерного и многомерного прямого преобразования Фурье.

Разработка преобразований Фурье сыграла огромную роль в появлении и развитии ряда новых областей науки и техники. Достаточно отметить, что электротехника переменного тока, электрическая связь и радиосвязь базируются на спектральном представлении сигналов. Ряды Фурье также можно рассматривать как приближение произвольных функций (определенные ограничения в этом известны) тригонометрическими рядами бесконечной длины. При конечной длине рядов получаются наилучшие среднеквадратические приближения. MATLAB содержит функции для выполнения быстрого одномерного и двумерного быстрого дискретного преобразования Фурье. Для одномерного массива*с длиной N прямое и обратное преобразования Фурье реализуются по следующим формулам:

Читайте также:  Тангенс в экселе в градусах

Прямое преобразование Фурье переводит описание сигнала (функции времени) из временной области в частотную, а обратное преобразование Фурье переводит описание сигнала из частотной области во временную. На этом основаны многочисленные методы фильтрации сигналов.

В описанных ниже функциях реализован особый метод быстрого преобразования Фурье – Fast Fourier Transform (FFT, или БПФ), позволяющий резко уменьшить число арифметических операций в ходе приведенных выше преобразований. Он особенно эффективен, если число обрабатываемых элементов (отсчетов) составляет 2 т , где т – целое положительное число. Используется следующая функция:

  • fft(X) – возвращает для вектора X дискретное преобразование Фурье, по возможности используя алгоритм быстрого преобразования Фурье. Если X – матрица, функция fft возвращает преобразование Фурье для каждого столбца матрицы;
  • fft(X.n) – возвращает n-точечное преобразование Фурье. Если длина вектора X меньше n, то недостающие элементы заполняются нулями. Если длина X больше п, то лишние элементы удаляются. Когда X – матрица, длина столбцов корректируется аналогично;
  • fft(X,[ Ldirn) и fft(X,n,dim) – применяют преобразование Фурье к одной из размерностей массива в зависимости от значения параметра dim.

Для иллюстрации применения преобразования Фурье создадим трехчастотный сигнал на фоне сильного шума, создаваемого генератором случайных чисел:


Рис. 17.6. Форма зашумленного сигнала

Этот сигнал имеет среднюю частоту 200 рад/с и два боковых сигнала с частотами 150 и 250 рад/с, что соответствует амплитудно-модулированному сигналу с частотой модуляции 50 рад/с и глубиной модуляции 0.8 (амплитуда боковых частот составляет 0.4 от амплитуды центрального сигнала). На рис. 17.6 показан график этого сигнала (по первым 100 отсчетам из 2000). Нетрудно заметить, что из него никоим образом не видно, что полезный сигнал – амплитудно-модулированное колебание, настолько оно забито шумами.

Ссылка на основную публикацию
Резинка для сливного бачка унитаза
Исправная сантехника гарантирует привычный уровень комфорта. Пока с унитазом все в порядке, кажется, что никаких проблем быть не может. Но...
Разгон видеокарты amd radeon hd 6670
Мы продолжаем серию статей про бюджетные видеокарты. На этот раз мы обратимся к свежим Radeon HD 6570 и HD 6670,...
Разные размеры страниц в ворде
Сколько слов помещается на листе бумаги? Это зависит от типа документа, от пользователя, который создает этот документ, не говоря уже...
Реферат операционные системы интернет серверов
Access to this page has been denied because we believe you are using automation tools to browse the website. This...
Adblock detector