Приведение матрицы к диагональному преобладанию

Приведение матрицы к диагональному преобладанию

Условие диагонального преобладания: коэффициенты, которые находятся на главной диагонали, должны быть больше по модулю, чем сумма коэффициентов по модулю перед остальными неизвестными.

Из первого уравнения выражаем x1

Для того, чтобы построить итерационный процесс мы выбираем нулевое приближение для неизвестных x1, x2, x3. При решении технических задач нулевые приближения выбираются из физических соображений. При решении простых систем линейных уравнений обычно за нулевые значения выбирают 0.

| следующая лекция ==>
Решение систем линейных алгебраических уравнений. Метод простых итераций | Метод Гаусса

Дата добавления: 2014-01-06 ; Просмотров: 753 ; Нарушение авторских прав?

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

БлогNot. Mathcad: метод Гаусса-Зейделя и диагональное преобладание

Mathcad: метод Гаусса-Зейделя и диагональное преобладание

Вопрос возник по этой заметке, где реализованы прямые и итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в Mathcad.

Для сходимости как метода Якоби, так и модификации Гаусса-Зейделя, следует приводить матрицу к виду с диагональным преобладанием, это можно всегда сделать, применяя элементарные преобразования над строками и столбцами матрицы.

Приложенный документ содержит модификацию итерационного метода Якоби, известную как метод Гаусса-Зейделя и показывает, как привести матрицу к виду с диагональным преобладанием 🙂

Исходя из определения, достаточно, чтобы модуль элемента главной диагонали был больше остальных элементов своей строки. Поэтому для исходной матрицы, показанной на скрине, мы поменяли местами первую и вторую строки, а затем вычли из третьей строки вторую (бывшую первую). То же самое не забыли сделать для вектора правой части b , на практике лучше работать с расширенной матрицей системы, в которую последним столбцом дописан вектор правой части b .

Как видно из результата проверки, система решена с точностью не менее 15 знаков после запятой.

Читайте также:  Как узнать какие почты я создавал

Скачать метод Гаусса-Зейделя для решения СЛАУ, документ Mathcad 14/15 .xmcd в архиве .zip (22 Кб)

02.12.2017, 13:11; рейтинг: 7704

Случай диагонального преобладания.

Если в исходной системе все элементы, стоящие на главной диагонали, по модулю больше, чем сумма модулей остальных элементов в этой же строке (столбце) матрицы А, то для приведения к нужному виду в левой части оставляют только диагональные элементы, а остальные переносят в правую часть и каждое уравнение делят на диагональные элементы.

5×1-x2+2×3=13 x1=0.2×2-0.4×3 +2.6

2×1-10×2+4×3=0 ó x2=0.2×1+0.4×3 +0

x1+2×2+20×3=100 x3=-0.05×1-0.1×2 +5

Аналогичным образом поступают и тогда, когда диагонального преобладания можно добиться перестановкой уравнений.

Случай, когда матрица А близка к единичной.

Если после вычитания из диагональных элементов по 1 сумма модулей элементов всех строк (столбцов) матрицы А будет меньше 1, то систему легко свести к нужному в методе простых итераций виду, выделяя из i-го уравнения xi и перенося его в левую часть.

Этот случай похож на предыдущий, но обязательно ли матрица, близкая к единичной является матрицей с диагональным преобладанием?.

Упражнение 9.6. Выяснить, бывают ли системы линейных уравнений без диагонального преобладания, но с матрицей А, близкой к единичной.

ó

Заметим, что в некоторых случаях удобнее комбинировать оба способа преобразования уравнений исходной системы – деление на диагональные элементы и вычитание из них 1.

Упражнение 9.7 Для матриц из примеров 1 и 2 посчитать их нормы в трех различных метриках пространства Rn и найти минимальную (число q).

Упражнение 9.8. Для системы из примера1, приведенной к нужному виду, взять в качестве Х0 нулевой вектор и построить два следующих вектора итерационной последовательности.

Напомним, что метод простых итераций, также как и другие итерационные методы решения систем линейных уравнений, обычно применяют, если порядок системы велик, например сотни или тысячи уравнений, и применение любых прямых методов затруднено в связи с очень большим количеством вычислений.

Читайте также:  Не работает wifi debian

Пример. Решить методом Ньютона с точностью систему

Решение. Графически находим начальное приближение , .

Метод Ньютона запишем в координатной форме:

,

.

, .

Система для определения и имеет вид

, , ,

Окончательный (рабочий) вид системы:

Теперь можно начинать итерации. Для первой итерации требуются значения и . Их находим, решая систему:

, ,

,

Строим систему и вычисляем и для второй итерации:

, ,

, .

Неравенство выполняется: , , поэтому итерации прекращаем.

Ответ: , .

Какова скорость сходимости последовательности векторов к решению?

Численные методы решения экстремальных задач Постановка задачи.

Метод равномерного поиска. Этот метод основан на том, что переменной присваиваются значения c шагом h =const (шагом поиска), где i=0,1,2,… и вычисляются значения в соседних точкаx. Если , то переменной дается новое приращение.

Метод квадратичной интерполяции Этот метод основан на замене в промежутке квадратичной параболой, экстремум которой вычисляется аналитически.

Упражнение 7. Найти наименьшее n, начиная с которого точность метода золотого сечения больше точности метода деления отрезка пополам в 2 раза, в 10 раз.Упражнение 8. Написать алгоритм описанного метод.

Градиентный метод Пусть функция непрерывно дифференцируема на , а Î .

Ссылка на основную публикацию
Почему экран телевизора красный
Одна из редких, но периодически встречающихся неисправностей — экран телевизора стал красным. В зависимости от типа ТВ, это может означать...
Почему зарядка от айфона сильно нагревается
Если человеку нездоровится, главное вовремя установить верный диагноз и назначить правильное лечение. Такая же ситуация обстоит и с гаджетами. Если...
Почему на триколоре нет программы передач
Телегид: это цифровая телепрограмма для Триколор ТВ, данные который загружаются в реальном времени через спутник. Поэтому иногда для загрузки данных...
Правила сдачи билетов на поезд ржд
Большинство граждан предпочитает заранее покупать билеты, так как зачастую это более выгодно и из-за того, что они могут закончиться на...
Adblock detector