Плотность произведения случайных величин

Плотность произведения случайных величин

Если x — случайная величина с областью значений X x и функция f(x) определена на множестве X x , то h = f(x) — тоже случайная величина. Задача об отыскании функции распределения случайной величины h по известной функции распределения случайной величины x легко решается, если f(x) — непрерывная монотонно возрастающая функция. Доказано, что тогда функция распределения F h (x) случайной величины h задается формулой F h (x)=F x ([f(x)] -1 ).

Здесь F x (x) — известная функция распределения случайной величины x , а символом [f(x)] -1 обозначена функция, обратная к функции f(x).

Плотность распределения случайной величины h для дифференцируемой f(x) вычисляется по формуле

.

В теории вероятностей часто возникает необходимость в определении плотности вероятности суммы двух независимых случайных величин. Если x 1 и x 2 — непрерывные независимые случайные величины с плотностями вероятности соответственно p1(x) и p2(x), то плотность вероятностей суммы h = x 1 + x 2 вычисляется по формуле:

.

Порядок построения распределения произведения двух дискретных случайных величин проще всего объяснить на примере.

Пусть ( x , h ) — дискретный случайный вектор с распределением:

1 2 3 4
0.01 0.02 0.03 0.04
1 0.1 0.1 0.2 0.4
2 0.05 0.01 0.01 0.03

Найдем распределение произведения случайных величин — случайной величины z = x * h ,

которая принимает значения 0, 1, 2, 3, 4, 6, 8. Вычислим соответствующие вероятности:

P( z = x * h = 0) = P( x = 0, h = 1) + P( x = 0, h = 2) + P( x = 0, h = 3) + P( x = 0, h = 4) = 0.1;

P( z = 1) = P( x = 1, h = 1) =0.1; P( z = 2) = P( x = 1, h = 2) + P( x = 2, h = 1) =0.15; и т.д.

В результате получим распределение случайной величины z = x * h :

z 1 2 3 4 6 8
p 0.1 0.1 0.15 0.2 0.41 0.01 0.03

Для того чтобы найти распределение произведения непрерывных случайных величин, необходимо выполнить более громоздкие вычисления.

Пусть ( x , h ) — непрерывный двумерный случайный вектор с плотностью распределения p( x h )(x1, x2). Построим функцию распределения случайной величины z = x * h . Согласно определению

.

Для вычисления этой вероятности рассмотрим отдельно случаи x>0 и x 0> изображена на рисунке слева, а область D= <x1x2 0 имеем: .

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Определение.Произведением случайных величин Х иYназывается случайная величина XY, возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения Х на каждое возможное значение Y;а вероятности возможных значений произведения XY равны произведениям вероятностей одного сомножителя на условную вероятность другого:

(11.4.4)

Если величины Х иYнезависимы, то равенство (10.4.1) примет вид:

(11.4.5)

Например, если независимые случайные величины Х и Y заданы рядами распределения:

Х х1
(11.4.6)
(10.4.3)

х2

р р1 р2
Y у1 у2
g g1 g2

то их произведение будет иметь такой ряд:

ХY х1у1 х1у2 x2у1
(11.4.8)
(10.4.7)

х2у2

s

Некоторые произведения могут оказаться равными между собой. В этом случае одинаковые возможные значения произведения записываются в таблицу один раз, а их вероятности складываются.

ХY х1у1 х1у2
(11.4.9)
(10.4.8)

х2у2

s

Пример 1(первый пример с двумя монетами).

Бросаются две монеты. На одной стороне каждой монеты наклеена цифра 1, на другой стороне — цифра 2. Найти ряд распределения произведения случайных величин Х и где Х – число очков, выпавшее на первой монете, Y— число очков, выпавшее на второй монете. Найти математическое ожидание случайных величин X,YиXY.

Решение. Ряды распределения случайных величин X и Y имеют вид:

Х Y
р 1/2 1/2 g 1/2 1/2

Ряд распределения произведения:

XY
s 1/4 1/4+1/4=1/2 1/4

Математическое ожидание произведения

Т.е. в среднем произведение числа очков, выпавших на двух монетах, будет равно .

Теорема 1. Произведение случайной величины Х, распределённой по закону (*), на постоянную случайную величину С, имеет ряд распределения:

СХ Сх1 Сх2 …………
(**)

Схn

Читайте также:  Запустить регламентное задание 1с программно
s p1 p2 ………… pn

То есть при умножении каждого возможного значения на одно и то же число вероятности остаются прежними.

Теорема 2.Если случайная величина Х распределена по закону (*), то величина Х 2 имеет ряд распределения

Х 2 (х1) 2 (х2) 2 …………
(***)

(хn) 2

p p1 p2 ………… pn

То есть возведение возможного значения в квадрат не изменяет вероятностей.

Пример 3.Случайная величина Х имеет закон распределения, заданный таблицей 1. Найти распределение величины Х 2 . Согласно теореме 2, распределение Х 2 задается таблицей 2. Заметим, что в таблице 2 случайная величина принимает одинаковые значения, равные 25, поэтому таблицу 2 можно переписать в виде 3, т.к. для одинаковых возможных значений вероятности складываются. Как видим, получилась постоянная случайная величина.

1. Х -5 2. Х 2 3. Х 2
р 0,3 0,7 р 0,3 0,7 р

Замечание. Аналогично двум случайным величинам определяется произведение любого количества случайных величин.

Сумма случайных величин

Определение.Суммой двух дискретных случайных величин Х и Y называется случайная величина X+Y, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения Х с каждым возможным значением Y; а вероятности возможных значений суммы X+Y равны произведениям вероятностей возможных значений слагаемых, для зависимых величин — произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность другого, т.е.

(11.4.11)

Если величины Х и Y независимы, то условные вероятности становятся безусловными. В этом случае равенство (11.4.4) примет вид:

(11.4.12)

Таким образом, вероятности суммы задаются так же, как вероятности произведения случайных величин.

Например, если вероятность возможного значения х1 равна р1, а вероятность возможного значения у1 равна g1, то вероятность возможного значения х11 равна Чтобы составить сумму , должны произойти события и , поэтому вероятности перемножаются.

Например, если независимые случайные величины Х и Y заданы рядами распределения:

Х х1
(11.4.13)

х2

р р1 р2
Y у1 у2
g g1 g2
(11.4.14)

то их произведение будет иметь такой ряд:

Х+Y х1+у1 х1+у2 x2+у1
(11.4.15)
(10.4.7)

х22

h

Некоторые суммы могут оказаться равными между собой. В этом случае вероятность возможного значения суммы равна сумме соответствующих вероятностей. Например, если , то вероятность (или, что то же, ) равна

Замечание.Аналогично определяется сумма более двух случайных величин.

Пример(второй пример с двумя монетами).

Бросаются две монеты. На одной стороне каждой монеты наклеена цифра 1, на другой стороне — цифра 2. Найти ряд распределения суммы случайных величин Х и где Х – число очков, выпавшее на первой монете, Y— число очков, выпавшее на второй монете. Найти математическое ожидание случайных величин X,YиX+Y.

Решение.Ряды распределения случайных величин X и Y имеют вид:

Х Y
р 1/2 1/2 g 1/2 1/2

Ряд распределения суммы:

X+Y
h 1/4 1/4+1/4=1/2 1/4

Математическое ожидание суммы

Т.е. в среднем число очков, выпавших на двух монетах, будет равно 3.

Теорема 3.Если случайная величина Х распределена по закону (*), то случайная величина Х+С, где С – постоянная величина, имеет распределение:

Х+С х1 х2 ……… хn
p p1 p2 ……… pn

т.е. прибавление постоянной случайной величины не изменяет вероятностей.

Разность случайных величин

Разность случайных величин определяется аналогично сумме. Приведём соответствующую таблицу для величин, имеющих ряды распределения (11.4.15):

Х-Y х1у1 х1у2 x2у1
(11.4.16)
(10.4.7)

х22

h

Пример(третий пример с двумя монетами).

Бросаются две монеты. На одной стороне каждой монеты наклеена цифра 1, на другой стороне — цифра 2. Найти ряд распределения разности случайных величин Х и где Х – число очков, выпавшее на первой монете, Y— число очков, выпавшее на второй монете. Найти математическое ожидание случайных величин X,YиX–Y.

Читайте также:  Sony c2005 hard reset кнопками

Решение. Ряд распределения разности:

X–Y -1
h 1/4 1/4+1/4 1/4

Математическое ожидание разности

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ — конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой.

Закон распределения вероятностей функции одной случайной величины

При решении задач, связанных с оценкой точности работы различных автоматических систем, точности производства отдельных элементов систем и др., часто приходится рассматривать функции одной или нескольких случайных величин. Такие функции также являются случайными величинами. Поэтому при решении задач необходимо знать законы распределения фигурирующих в задаче случайных величин. При этом обычно известны закон распределения системы случайных аргументов и функциональная зависимость.

Таким образом, возникает задача, которую можно сформулировать так.

Дана система случайных величин , закон распределения которой известен. Рассматривается некоторая случайная величина Y как функция данных случайных величин:

Требуется определить закон распределения случайной величины , зная вид функций (6.1) и закон совместного распределения ее аргументов.

Рассмотрим задачу о законе распределения функции одного случайного аргумента

Пусть — дискретная случайная величина, имеющая ряд распределения

Тогда также дискретная случайная величина с возможными значениями . Если все значения различны, то для каждого события и тождественны. Следовательно,

и искомый ряд распределения имеет вид

Если же среди чисел есть одинаковые, то каждой группе одинаковых значений нужно отвести в таблице один столбец и соответствующие вероятности сложить.

Для непрерывных случайных величин задача ставится так: зная плотность распределения случайной величины , найти плотность распределения случайной величины . При решении поставленной задачи рассмотрим два случая.

Предположим сначала, что функция является монотонно возрастающей, непрерывной и дифференцируемой на интервале , на котором лежат все возможные значения величины . Тогда обратная функция существует, при этом являясь также монотонно возрастающей, непрерывной и дифференцируемой. В этом случае получаем

Пример 1. Случайная величина распределена с плотностью

Найти закон распределения случайной величины , связанной с величиной зависимостью .

Решение. Так как функция монотонна на промежутке , то можно применить формулу (6.2). Обратная функция по отношению к функции есть , ее производная . Следовательно,

Рассмотрим случай немонотонной функции. Пусть функция такова, что обратная функция неоднозначна, т. е. одному значению величины соответствует несколько значений аргумента , которые обозначим , где — число участков, на которых функция изменяется монотонно. Тогда

Пример 2. В условиях примера 1 найти распределение случайной величины .

Решение. Обратная функция неоднозначна. Одному значению аргумента соответствуют два значения функции

Закон распределения функции двух случайных величин

Пусть случайная величина является функцией двух случайных величин, образующих систему , т. е. . Задача состоит в том, чтобы по известному распределению системы найти распределение случайной величины .

Пусть — плотность распределения системы случайных величин . Введем в рассмотрение новую величину , равную , и рассмотрим систему уравнений

Будем полагать, что эта система однозначно разрешима относительно

и удовлетворяет условиям дифференцируемости.

Плотность распределения случайной величины

Заметим, что рассуждения не изменяются, если введенную новую величину положить равной .

Математическое ожидание функции случайных величин

На практике часто встречаются случаи, когда нет особой надобности полностью определять закон распределения функции случайных величин, а достаточно только указать его числовые характеристики. Таким образом, возникает задача определения числовых характеристик функций случайных величин помимо законов распределения этих функций.

Читайте также:  Какой чехол лучше силиконовый или полиуретановый

Пусть случайная величина является функцией случайного аргумента с заданным законом распределения

Требуется, не находя закона распределения величины , определить ее математическое ожидание

Пусть — дискретная случайная величина, имеющая ряд распределения

Составим таблицу значений величины и вероятностей этих значений:

Эта таблица не является рядом распределения случайной величины , так как в общем случае некоторые из значений могут совпадать между собой и значения в верхней строке не обязательно идут в возрастающем порядке. Однако математическое ожидание случайной величины можно определить по формуле

так как величина, определяемая формулой (6.4), не может измениться от того, что под знаком суммы некоторые члены будут заранее объединены, а порядок членов изменен.

Формула (6.4) не содержит в явном виде закон распределения самой функции , а содержит только закон распределения аргумента . Таким образом, для определения математического ожидания функции вовсе не требуется знать закон распределения функции , а достаточно знать закон распределения аргумента .

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание вычисляется по формуле

где — плотность распределения вероятностей случайной величины .

Рассмотрим случаи, когда для нахождения математического ожидания функции случайных аргументов не требуется знание даже законов распределения аргументов, а достаточно знать только некоторые их числовые характеристики. Сформулируем эти случаи в виде теорем.

Теорема 6.1. Математическое ожидание суммы как зависимых, так и независимых двух случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:

Теорема 6.2. Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий плюс корреляционный момент:

Следствие 6.1. Математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Следствие 6.2. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Дисперсия функции случайных величин

По определению дисперсии имеем . Следовательно,

Приведем расчетные формулы только для случая непрерывных случайных аргументов. Для функции одного случайного аргумента дисперсия выражается формулой

где — математическое ожидание функции ; — плотность распределения величины .

Формулу (6.5) можно заменить на следующую:

Рассмотрим теоремы о дисперсиях , которые играют важную роль в теории вероятностей и ее приложениях.

Теорема 6.3. Дисперсия суммы случайных величин равна сумме дисперсий этих величин плюс удвоенная сумма корреляционных моментов каждой из слагаемых величин со всеми последующими:

Следствие 6.3. Дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

Теорема 6.4. Дисперсия произведения двух независимых случайных величин вычисляется по формуле

Корреляционный момент функций случайных величин

Согласно определению корреляционного момента двух случайных величин и , имеем

Раскрывая скобки и применяя свойства математического ожидания, получаем

Рассмотрим две функции случайной величины

Согласно формуле (6.6)

т.е. корреляционный момент двух функций случайных величин равен математическому ожиданию произведения этих функций минус произведение из математических ожиданий.

Рассмотрим основные свойства корреляционного момента и коэффициента корреляции .

Свойство 1. От прибавления к случайным величинам постоянных величин корреляционный момент и коэффициент корреляции не изменяются.

Свойство 2. Для любых случайных величин и абсолютная величина корреляционного момента не превосходит среднего геометрического дисперсий данных величин:

где — средние квадратические отклонения величин и .

Следствие 6.5. Для любых случайных величин и абсолютная величина коэффициента корреляции не превосходит единицы:

Ссылка на основную публикацию
Первый запуск ноутбука msi
Компания MSI выпускает различную компьютерную продукцию, среди которой есть полноценные десктопные ПК, моноблоки, ноутбуки и материнские платы. Владельцам того или...
Ошибка в приложении path rf3
Компьютерные игры для ПК и консолей Path of Exile — ошибки, не запускается, вылетает, лагает Массовой онлайн РПГ игре Path...
Ошибка кэша расположенного на системной плате
Наверняка, каждый пользователь компьютера слышал один или несколько звуковых сигналов, издающихся спикером материнской платы сразу после включения ПК. Если компьютер...
Передача файлов отключена политикой windows 10 bluetooth
С каждой версией Windows, компания Microsoft старается решить проблемы прошлых версий ОС и исправить значительные баги и поломки. Поэтому если...
Adblock detector