От чего зависит временной интервал дискретизации

От чего зависит временной интервал дискретизации

Дискретизация по времени должна производиться так, чтобы по отсчетным значениям U(kAT) можно было восстановить исходный сигнал U(t) с заданной точностью. Необходимо решать вопрос о том, как часто следует производить отсчеты сигнала по времени, т. с. каков должен быть шаг дискретизации по времени Ат. В технике чаще используется понятие частоты дискретизации по времени /д, связанной с шагом дискретизации следующим соотношением:/= I/A7-.

При восстановлении исходного сигнала U(t) совокупности выборок U(kAT) ставится в соответствие многочлен вида

где yj(t) — приближающая (аппроксимирующая) функция.

В зависимости от приближающей функции и выбирается шаг дискретизации по времени.

Частота дискретизации по времени функций с ограниченным спектром определяется из теоремы отсчетов (теорема Котельникова, теорема Найквиста), согласно которой функция с ограниченным спектром частот от 0 до/ может быть представлена отсчетами, взятыми через интервал времени Д7— = 1/2/., т. е./ = 1/Д7 = 2 /.

Восстановление непрерывного исходного сигнала в этом случае должно происходить с помощью ряда Котельникова

где UT) — значения дискретизируемого сигнала в моменты кАг.

Как видно из выражения (4.1), непрерывный сигнал представляется суммой произведений, один из сомножителей есть значение непрерывного сигнала в точке отстета, а второй является некоторой функцией времени и называется функцией отсчетов (см. рис. 4.3):

Рис. 4.3. Функция отсчетов

Функция отсчетов представляет собой реакцию идеального фильтра нижних частот на единичную импульсную функцию.

Однако на практике использование теоремы отсчетов вызывает трудности. Поэтому в качестве аппроксимирующей функции могут использовать степенные многочлены Лагранжа нулевой степени (ступенчатая аппроксимация), первой степени (линейная аппроксимация) [детально этот вопрос рассмотрен в книге Темников Ф.Е. и др. Теоретические основы информационной техники. М.: Энергия, 1971].

Выбор способа аппроксимации задает формулу подсчета /л. Наиболее проста ступенчатая аппроксимация, при которой предполагается, что в промежутках времени между отсчетами сигнал остается неизменным и при следующем отсчете принимает новое значение (рис. 4.4).

Рис. 4.4. Восстановление с помощью ступенчатой аппроксимирующей

В этом случае

где АЬ — максимально допустимая погрешность аппроксимации;

|С/Шах(01 — модуль максимального значения дискретизируемого сигнала.

Чаще всего задается относительная погрешность аппроксимации A6/|t/max(0l- Например, при относительной погрешности A6/|<7max(f)|=0,l частота дискретизации будет равна/д =2nfc 10

Меньшую частоту дискретизации требует линейная аппроксимация, при которой соседние точки, соответствующие отсчетам, соединяются прямой линией (рис. 4.5).

Рис. 4.5. Восстановление с помощью линейной аппроксимирующей функции

В этом случае

При указанной ранее относительной погрешности требуется

В заключение заметим, что уменьшение шага дискретизации АТ (увеличение частоты дискретизации /д) независимо от способа восстановления сигнала приводит к уменьшению погрешности дискретизации, однако при этом возрастает объем перерабатываемых данных. Уменьшение шага квантования по уровню Av (увеличение числа уровней квантования = увеличению числа разрядов кода) также приводит к уменьшению погршности восстановления исходного сигнала, но при этом также возрастает объём перерабатываемых данных. При работе ЭВМ в режиме реального масштаба времени, наиболее характерном для систем управления объектами и процессами, ввод каждого отсчета, его обработка и вывод результата должны быть завершены до появления следующего отсчета, т. е. за интервал Ат. Таким образом, шаг дискретизации по времени, шаг квантования по уровню определяют не только погрешность преобразования, но и требования, предъявляемые к характеристикам АЦП и ЦАП, быстродействию процессора, архитектуре и параметрам системы ввода/вывода, а также ограничения на сложность алгоритмов обработки данных.

Дискретиза́ция (от лат. discretio — «различать», «распознавать») — в общем случае — представление непрерывной функции дискретной совокупностью её значений при разных наборах аргументов. Для функции переменной f ( x ) <displaystyle f(x)> — представление её множеством n <displaystyle n> её значений f ( x 0 ) , f ( x 1 ) , . . . f ( x n − 1 ) <displaystyle f(x_<0>),f(x_<1>). f(x_)> на заданном дискретном множестве значений аргумента x 0 , x 1 , . . . x n − 1 <displaystyle x_<0>,x_<1>. x_> .

В обработке сигналов — представление аналогового непрерывного сигнала S ( t ) <displaystyle S(t)> совокупностью его значений, эту совокупность принято называть выборками S ( t 0 ) , S ( t 1 ) , . . . S ( t n − 1 ) <displaystyle S(t_<0>),S(t_<1>). S(t_)> , взятых в моменты времени t 0 , t 1 , . . . t n − 1 <displaystyle t_<0>,t_<1>. t_> .

В общем случае период времени от одной выборки до следующей может различаться для каждой пары соседних выборок, но обычно при обработке сигнала, выборки следуют через фиксированный и постоянный промежуток времени. Этот промежуток в таком случае называют периодом дискретизации или интервалом выборок и обычно обозначается буквой T <displaystyle T> . Величину обратную периоду дискретизации F s = 1 / T <displaystyle F_=1/T> называют частотой выборок или частотой дискретизации [1] .

Читайте также:  Как удалить игры с ноутбука windows 10

Примерами аналогового сигнала могут служить аудио- или видеосигналы, сигналы различных измерительных датчиков и др. Для последующей цифровой обработки аналоговые непрерывные сигналы обязательно предварительно подвергаются дискретизации и квантованию по уровню с помощью аналого-цифровых преобразователей.

Обратный процесс получения непрерывного аналогового сигнала заданного дискретной совокупностью его выборок называется восстановлением. Восстановление производится цифро-аналоговыми преобразователями.

Содержание

Теория [ править | править код ]

В математических терминах — дискретизация это умножение непрерывной функции s ( t ) <displaystyle s(t)> на функцию, называемую гребень Дирака Δ T ( t ) = d e f ∑ k = − ∞ ∞ δ ( t − k T ) <displaystyle Delta _(t) <stackrel <mathrm ><=>> sum _^<infty >delta (t-kT)> где T <displaystyle T> — константа — период дискретизации и δ ( t ) <displaystyle delta (t)> — дельта-функция Дирака:

s a ( t ) = s ( t ) ⋅ ∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n T ) . <displaystyle s_<mathrm >(t)=s(t)cdot sum _^<infty >delta (t-nT).>

Преобразование Фурье дискретной функции s a ( t ) <displaystyle s_<mathrm >(t)> даёт её спектр S a ( f ) <displaystyle S_<mathrm >(f)> . Согласно теореме Котельникова, если спектр S a ( f ) <displaystyle S_<mathrm >(f)> исходной функции ограничен, то есть спектральная плотность нулевая свыше некоторой частоты f m a x <displaystyle f_> , то исходная функция однозначно восстановима по совокупности её выборок, взятых с частотой дискретизации 1 / T ≥ 2 f m a x <displaystyle 1/Tgeq 2f_> .

Для абсолютно точного восстановления необходимо подать на вход идеального фильтра нижних частот последовательность бесконечно коротких импульсов каждый с площадью равной значению выборки.

Практически невозможно идеально точно восстановить реальные сигналы по выборкам, так как во-первых, не существует сигналов с ограниченным спектром, ибо реальные сигналы ограничены во времени, что обязательно даёт спектр бесконечной ширины. Во-вторых, физически нереализуем идеальный фильтр низких частот (sinc-фильтр), в третьих, невозможны бесконечно короткие импульсы с конечной площадью.

Применение [ править | править код ]

Все сигналы в природе по сути аналоговые. Для цифровой обработки сигнала, хранения его и передачи в цифровом виде аналоговые сигналы предварительно оцифровываются. Оцифровка включает дискретизацию и квантование по уровню, производимую с помощью АЦП. После цифровой обработки, передачи, хранения цифровых данных, кодирующих сигнал, часто необходимо обратное преобразование цифрового образа сигнала в аналоговый сигнал. Например, звуковоспроизведение аудиозаписей с компакт-диска.

Также дискретизация применяется в системах аналоговой импульсной модуляции.

Практически восстановление аналогового сигнала по совокупности выборок производится с той или иной степенью точности, причём точность восстановления тем выше, чем выше частота дискретизации и число уровней квантования каждой выборки. Но чем больше частота дискретизации и число уровней квантования, тем больше требуется ресурсов для обработки, хранения, передачи оцифрованных данных. Поэтому частоту дискретизации и разрядность АЦП практически выбирают исходя из разумного компромисса.

Например, при цифровой передаче голоса для хорошей разборчивости речи достаточна частота дискретизации 8 кГц.

Высококачественное воспроизведение музыкальных произведений с компакт-дисков (CD) в современном стандарте производится с частотой дискретизации 44,1 кГц (CD), 48 кГц, 88,2 кГц или 96 кГц, что обеспечивает высококачественное воспроизведение звука во всей полосе слышимых частот 20 Гц — 20 кГц [2] .

Оцифровка телевизионного видеосигнала с полосой частот 6 МГц производится с частотой дискретизации свыше 10 МГц [3] .

См. также [ править | править код ]

См. также [ править | править код ]

Примечания [ править | править код ]

Преобразование непрерывного информационного множества аналоговых сигналов в дискретное множество называется дискретизацией или квантованием по уровню (ср. «Квантование по времени»). Квантование по уровню широко используется в цифровых автоматах. При квантовании по уровню производится отображение всевозможных значений величины x <displaystyle x> на дискретную область, состоящую из величин x − <displaystyle <overset <->>> уровня квантования.

Дискретизация – переход от непрерывного сигнала к близкому (в определенном смысле) дискретному сигналу, описываемому разрывной функцией времени. Пример дискретного сигнала – последовательность коротких импульсов с изменяющейся амплитудой (последняя выступает в данном случае в качестве информативного параметра).

Обработка и передача дискретной информации имеет ряд преимуществ по сравнению с информацией, заданной в непрерывном виде. Дискретные сигналы в меньшей степени подвержены искажениям в процессе передачи и хранения, они легко преобразуются в двоичный цифровой код и обрабатываются с помощью цифровых вычислительных устройств.

Читайте также:  Масштаб на полный экран

Процесс дискретизации состоит обычно из двух этапов: дискретизации по времени и дискретизации (квантования) по уровню.

Дискретизация аналогового сигнала по времени – процесс формирования выборки аналогового сигнала в моменты времени, кратные периоду дискретизирующей последовательности ∆t.

Дискретизирующая последовательность – периодическая последовательность отсчетов времени, задающая сетку дискретного времени.

Период дискретизации ∆t – интервал времени между двумя последовательными отсчетами аналогового сигнала (шаг дискретизации по времени).

При выборе частоты дискретизации по времени можно воспользоваться теоремой В.А. Котельникова.

Теорема отсчетов (теорема Котельникова) – теорема, определяющая выбор периода дискретизации ∆t аналогового сигнала в соответствии с его спектральной характеристикой.

Согласно теореме, всякий непрерывный сигнал, имеющий ограниченный частотный спектр, полностью определяется своими дискретными значениями в моменты отсчета, отстоящие друг от друга на интервалы времени ∆t = l/(2Fmax), где Fmax – максимальная частота в спектре сигнала. Иначе, дискретизация по времени не связана с потерей информации, если частота дискретизации f дискр = 1/∆t в два раза выше указанной верхней частоты сигнала Fmax.

Согласно теореме Котельникова, нет необходимости передавать бесконечное множество всех значений непрерывного сигнала x(t), достаточно передавать лишь те его значения (рис. 3.52), которые отстоят друг от друга на расстоянии ∆t = l/(2Fmax). Для восстановления сигнала x(t) на вход идеального фильтра низких частот, имеющего полосу пропускания частот от 0 до Fmsx, необходимо подать последовательность узких импульсов с амплитудой, соответствующей дискретным отсчетам сигнала x(ti) в моменты времени ti = it.

Рис. 3.52. Дискретные отсчеты сигнала

Поскольку теорема отсчетов (теорема Котельникова) сформулирована для сигнала с ограниченным спектром, а реальные сигналы имеют неограниченную спектральную плотность, то при расчетах ∆t =1/(2Fmax) используют приближенное значение Fmax (например, активную ширину спектра, определенную по амплитудному критерию, по критерию 90%-ного содержания энергии или средней мощности сигнала). Кроме того, и идеальный фильтр низких частот, необходимый для восстановления сигнала в соответствии с теоремой, является физически нереализуемым, так как предъявляемые к нему требования (идеально прямоугольная форма амплитудно-частотной характеристики, отсутствие фазового сдвига в рассматриваемой полосе частот от 0 до Fmax) оказываются противоречивыми и могут выполняться лишь с определенной погрешностью. Учитывая сказанное, частоту дискретизации по времени обычно принимают в 1,5–2,5 раза больше значения, рассчитанного по теореме Котельникова.

Существуют и другие способы выбора частоты дискретизации сигнала (с учетом времени корреляции передаваемого сообщения, значения наибольшего или среднеквадратичного отклонения процесса). Так, в соответствии с критерием Н.А. Железнова, который выполняется для случайных сигналов, имеющих конечную длительность Тс и неограниченный частотный спектр, рекомендуется принимать шаг дискретизации ∆t, равный максимальному интервалу корреляции сигнала φ0. Предполагается, что параметр φ0, характеризует такой промежуток времени, в пределах которого отдельные значения случайного процесса можно считать статистически зависимыми (коррелированными), причем φ0Тс. Таким образом, исходный непрерывный сигнал заменяется совокупностью N=Тс/φ0 некоррелированных отсчетов (импульсов), следующих с частотой fдискр=1/∆t= φ0. При этом восстановление сигнала x(t) осуществляется с помощью линейного прогнозирующего фильтра со среднеквадратической ошибкой, сколь угодно мало отличающейся от нуля в промежутке времени, равном интервалу корреляции φ0.

Более полно учитывая свойства реальных сигналов (конечная длительность, неограниченность спектра), критерий Железнова тем не менее исходит из допущения о равенстве нулю корреляционной функции сигнала Кх(φ) вне интервала [-φ0; φ0], что на практике выполняется с определенной погрешностью.

В тех случаях, когда имеется более подробная информация о законе изменения сигнала, выбор частоты дискретизации можно осуществлять исходя из допустимой погрешности аппроксимации функции x(t) на каждом из интервалов дискретизации. На рис. 3.53 дан пример кусочно-линейной аппроксимации, когда соседние отсчеты функции x(t), взятые в дискретные моменты времени ti и ti+1, соединяются отрезками прямых.

Рис. 3.53. Кусочно-линейная аппроксимация

Рассмотренные способы равномерной дискретизации (при ∆t=const) иногда могут приводить к получению избыточных отсчетов, не оказывающих существенного влияния на процесс восстановления исходного сообщения. Например, если функция x(t) мало изменяется на некотором, достаточно протяженном интервале времени То, то соответствующие дискретные отсчеты сигнала практически не отличаются друг от друга и, следовательно, нет необходимости использовать все указанные отсчеты для хранения или передачи информации по линии связи. Сокращение избыточной информации возможно на основе способов адаптивной (неравномерной) дискретизации, обеспечивающих выбор интервала ∆t между соседними отсчетами с учетом фактического изменения характеристик сигнала (в частности скорости его изменения).

Читайте также:  Game boost msi что это

Дискретизация сигнала по уровню – процесс отображения бесконечного множества значений аналогового сигнала на некоторое конечное множество (определяемое числом уровней квантования).

Отличительной особенностью дискретизации по уровню является замена непрерывной шкалы уровней сигнала x(t) дискретной шкалой хi (i = 1, 2, . m), в которой различные значения сигнала отличаются между собой не менее чем на некоторое фиксированное (или выбираемое в процессе квантования) значение ∆t, называемое шагом квантования.

Шаг квантования – величина, равная интервалу между двумя соседними уровнями кванто-вания (определена только для случая равномерного квантования).

Необходимость квантования вызвана тем, что цифровые вычислительные устройства могут оперировать только с числами, имеющими конечное число разрядов. Таким образом, квантование представляет собой округление передаваемых значений с заданной точностью. При равномерном квантовании (∆x=const) число разрешенных дискретных уровней х составляет

где xmax и xmin – соответственно верхняя и нижняя границы диапазона изменения сигнала.

Ошибка квантования – величина, определяемая как ξ(х) = ххдi, где х – кодируемая дискретная величина, хдi– дискретизированный сигнал.

Шум квантования – случайная функция времени, определяемая как зависимость ошибки квантования от времени.

Чем меньше значение ∆х, тем меньше получаемая ошибка. Если в результате квантования любое из значений сигнала x(t), попавшее в интервал (хдi — ∆х/2; хдi + хдi х/2), округляется до хд, то возникающая при этом ошибка ξ(х) не превышает половины шага квантования, т.е. mах|ξ(х)|=0,5∆х. На практике шаг квантования ∆х выбирают исходя из уровня помех, в той или иной форме присутствующих при измерении, передаче и обработке реальных сигналов.

Если функция x(t) заранее неизвестна, а шаг квантования ∆х достаточно мал по сравнению с диапазоном изменения сигнала (хmax – хmin), то принято считать ошибку квантования ξ(х) случайной величиной, подчиняющейся равномерному закону распределения. Тогда, как показано на рис. 3.54, плотность вероятности f1(ξ) для случайной величины ξ, принимает значение 1/(∆х) внутри интервала (-∆х/2; +∆х/2) и равна нулю вне этого интервала.

Рис. 3.54. Равномерный закон распределения ошибки квантования

При ∆x=const относительная погрешность квантования ∆х=ξ(х)/х существенно зависит от текущего значения сигнала x(t). В связи с этим при необходимости обработки и передачи сигналов, изменяющихся в широком диапазоне, нередко используется неравномерное (нелинейное) квантование, когда шаг ∆х принимается малым для сигналов низкого уровня и увеличивается с ростом соответствующих значений сигнала (например ∆х выбирают пропорционально логарифму значения |x(t)|). Выбор шага ∆хi =хдi – хдi-1 осуществляется еще и с учетом плотности распределения случайного сигнала (для более вероятных значений сигнала шаг квантования выбирают меньшим, для менее вероятных – большим). Таким образом удается обеспечить высокую точность преобразования при ограниченном (не слишком большом) числе разрешенных дискретных уровней сигнала x(t).

Процесс преобразования дискретного сигнала в цифровой называют кодированием информации, а множество различных кодовых комбинаций, получаемых при данном правиле кодирования, – кодом. Важной характеристикой кода является основание (или значность) кода, т.е. число возможных значений, которые могут принимать элементы кодовой комбинации. Пусть требуется передать сигнал, уровень которого изменяется от 0 до 10 В. Если шаг квантования данных составляет 10 мВ, то каждый отсчет сигнала можно рассматривать как одно из 1000 возможных сообщений. Для передачи этой информации можно предложить различные способы:

– каждому сообщению поставить в соответствие определенный уровень напряжения, при этом основание кода m = 1000, а длина кодовой комбинации (слова) принимает минимальное значение n=1;

– можно воспользоваться двоичным (бинарным) представлением амплитуды сигнала с m = 2, но тогда потребуется комбинация длины n = 10 (210=1024, так что некоторые комбинации здесь не использованы).

Ссылка на основную публикацию
Ноутбук при включении пищит короткими сигналами
Разберемся в причинах почему при включении ноутбук пищит несколько раз или непрерывно. Характер неисправности может быть разным, как и сам...
Нормальная температура видеокарты nvidia gtx 1050
Привет, друзья! Как вы, вероятно, знаете, любая электроника греется во время работы, поэтому для некоторых устройств нужна мощная система охлаждения....
Ноутбук при включении пищит короткими сигналами
Разберемся в причинах почему при включении ноутбук пищит несколько раз или непрерывно. Характер неисправности может быть разным, как и сам...
Одноклассники старая версия сайта вход
Одноклассники: как выполнить вход и что делать, если не получается открыть свою страницу. Об этом вы узнаете в этой статье....
Adblock detector