Метод зейделя в excel

Метод зейделя в excel

Задание. Решить СЛАУ методами Якоби и Гаусса-Зейделя с заданной точностью . Проанализировать результаты решения в зависимости от =0,1; 0,01; 0,001.

Сравнить результаты решения, полученные двумя методами, сделать соответствующие выводы.

Порядок выполнения работы

Для расчета используйте СЛАУ из приложения 3 в соответствии с вариантом.

Решите заданную вариантом СЛАУ методам Якоби с точностью =0,01. Проанализируйте сходимость итерационного процесса.

Если итерационный процесс получился расходящимся, преобразуйте исходную систему к виду, пригодному для построения итерационного процесса, т.е. к системе с «преобладанием диагональных элементов» матрицы системы.

Проверьте правильность сделанных преобразований, решив обе СЛАУ с использованием надстройки Поиск решения.

Решите вручную систему методами Якоби и Гаусса-Зейделя, вычислив по три итерации. В качестве нулевого приближения возьмите нулевой вектор. Сделайте вывод о продолжении или прекращении итерационного процесса для =0,1.

Решите систему методами Якоби и Гаусса-Зейделя, используя приложение Excel (на разных листах книги). Расчетная схема приведена на рис.3.1.

Проанализируйте характер полученных решений для различных значений  =0,1; 0,01; 0,001.

Проследите сходимость итерационного процесса, построив графики изменения каждой компоненты решения в зависимости от номера итерации (рис.3.2).

Используя оценку числа итераций, дающую ответ с заданной точностью , вычислите количество итераций и сравните это число с полученными выше результатами.

Решение слау методом Якоби (метод простых итераций) с использованием приложения Microsoft Excel

Пример 3.1. Найти решение системы линейных алгебраических уравнений (3.1) методом Якоби.

(3.1)

Итерационные методы можно использовать для заданной системы, т.к. выполняется условие «преобладания диагональных коэффициентов»,что обеспечивает сходимость этих методов.

Расчетная схема метода Якоби приведена на рис (3.1).

Приведите систему(3.1). к нормальному виду:

, (3.2)

или в матричной форме

,

, (3.3)

Рис.3.1.

Для определения количества итераций, необходимое для достижения заданной точности , и приближенного решения системы полезно в столбце Н установить Условный формат. Результат такого форматирования виден на рис.3.1. Ячейки столбца Н, значения которых удовлетворяют условию (3.4) тонированы.

(3.4)

Анализируя результаты, принимаем за приближенное решение исходной системы с заданной точностью четвертую итерацию,

Изменяя значение в ячейкеН5можно получить новое приближенное решение исходной системы с новой точностью.

Проанализируйте сходимость итерационного процесса, построив графики изменения каждой компоненты решения СЛАУ в зависимости от номера итерации.

Для этого выделите блок ячеек А10:D20и, используяМастер диаграмм, постройте графики, отражающие сходимость итерационного процесса, рис.3.2.

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

управляемой самостоятельной работы студентов (УСР)

по учебной дисциплине

«Вычислительные методы и компьютерное моделирование»

Иностранный язык (английский). Информатика»

Всего УСР — 10 часов, 7 семестр

преподавателем кафедры физико-математических дисциплин

(в соответствии с Положением об

управляемой самостоятельной работе

студентов БарГУ, утвержденным

ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

ТЕМА: РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В MS EXCEL. МеТОД ЗЕЙДЕЛЯ.

Читайте также:  Пиковая производительность iphone как включить

– овладение учебным материалом дисциплины в объеме, требуемой учебной программой;

формирование навыков самообразования в учебной, научной, производственной и управленческой деятельности;

– развитие учебных способностей, умений, навыков и принятия самостоятельных решений в профессиональной деятельности.

Вопросы для изучения:

формирование навыков по решению систем линейных алгебраических уравнений методом Зейделя в MS Excel.

1. Изучить предлагаемый вопрос по литературным источникам и предложенной лекции.

2. Составить конспект.

3. Ответить на вопросы для самоконтроля.

Тема: РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В MS EXCEL. МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ.

1. МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ.

Модификацией метода простых итераций Якоби можно считать метод Зейделя.

В методе Якоби на итерации значения вычисляются подстановкой в правую часть системы:

вычисленных на предыдущей итерации значений

В методе Зейделя при вычислении используются значения уже найденные на итерации, а не как в методе Якоби, т.е. приближение строится следующим образом:

Эти формулы являются расчетными формулами метода Зейделя.

Введем нижнюю и верхнюю треугольные матрицы:

Матричная запись расчетных формул метода Зейделя имеет вид:

Так как точное решение исходной системы удовлетворяет равенству:

Сходимость метода Зейделя. Достаточным условием сходимости метода Зейделя является выполнение неравенства:

Этонеравенство означает, что для сходимости метода Зейделя достаточно, чтобы максимальный по модулю элемент матрицы (полученной из расчётных формул метода Зейделя) был меньше единицы. Если выполнено условие, то справедлива следующая апостериорная оценка погрешности:

где – максимальный элемент матрицы максимальный элемент матрицы .

Правую часть апостериорной оценки погрешности легко вычислить после нахождения очередного приближения.

Критерий окончания. Если требуется найти решение с точностью , то в силу апостериорной оценки погрешности итерационный процесс следует закончить, как только на шаге выполнится неравенство:

Поэтому в качестве критерия окончания итерационного процесса можно использовать неравенство:

где

Если выполняется условие то можно пользоваться более простым критерием окончания:

Метод Зейделя, как правило, сходится быстрее, чем метод Якоби. Однако возможны ситуации, когда метод Якоби сходится, а метод Зейделя сходится медленнее или вообще расходится.

Пример:применить метод Зейделя для решения системы линейных алгебраических уравнений

x1 x2 x3 x4 b e
0,79 -0,12 0,34 0,16 -0,64 0,001
-0,34 1,08 -0,17 0,18 -1,42
-0,16 -0,34 0,85 0,31 -0,42
-0,12 0,26 0,08 0,75 0,83
x1 x2 x3 x4 b
1,0000 -0,1519 0,4304 0,2025 -0,8101
-0,3148 1,0000 -0,1574 0,1667 -1,3148
-0,1882 -0,4000 1,0000 0,3647 -0,4941
-0,1600 0,3467 0,1067 1,0000 1,1067
B
x1 0,0000 0,1519 -0,4304 -0,2025 -0,8101
x2 0,3148 0,0000 0,1574 -0,1667 -1,3148
x3 0,1882 0,4000 0,0000 -0,3647 -0,4941
x4 0,1600 -0,3467 -0,1067 0,0000 1,1067
b=maxbij= 0,4000 0 1= -0,8101 x 1 1= -1,02132
x 0 2= -1,3148 x 1 2= -1,89856
x 0 3= -0,4941 x 1 3= -1,8494
x 0 4= 1,1067 x 1 4= 1,798693
x 1 1= -1,02132 x 2 1= -0,66686
x 1 2= -1,89856 x 2 2= -2,11565
x 1 3= -1,8494 x 2 3= -2,1219
x 1 4= 1,798693 x 2 4= 1,959728
x 2 1= -0,66686 x 3 1= -0,61518
x 2 2= -2,11565 x 3 2= -2,1691
x 2 3= -2,1219 x 3 3= -2,19228
x 2 4= 1,959728 x 3 4= 1,994038
x 3 1= -0,61518 x 4 1= -0,59995
x 3 2= -2,1691 x 4 2= -2,18111
x 3 3= -2,19228 x 4 3= -2,20673
x 3 4= 1,994038 x 4 4= 2,002177
x 4 1= -0,59995 x 5 1= -0,59721
x 4 2= -2,18111 x 5 2= -2,18388
x 4 3= -2,20673 x 5 3= -2,21029
x 4 4= 2,002177 x 5 4= 2,003955
x 5 1= -0,59721 x 6 1= -0,59646 Корень
x 5 2= -2,18388 x 6 2= -2,1845 Корень
x 5 3= -2,21029 x 6 3= -2,21104 Корень
x 5 4= 2,003955 x 6 4= 2,004371 Корень
Ответ: x1= -0,596
x2= -2,184
x3= -2,211
x4= 2,004
Читайте также:  Qnap логин пароль по умолчанию

Вопросы для самоконтроля

1. Суть метода итерации Зейделя.

2. Какой из итерационных методов сходится быстрее? Почему?

3. Критерий окончания метода Зейделя.

Список литературы

1. Численные методы: Учебно пособие для студентов вузов ∕ М. П. Лапчик, М. И. Рагулина, Е.К. Хеннер; под ред. М. П. Лапчика. — М.: Издательский центр «Академия», 2004.

2. Численные методы в примерах и задачах: Учебное пособие /В.И. Киреев, А.В. Пантелеев. — 3-е изд. стер. — М.: Высш. шк., 2008.

3. Вычислительная математика в примерах и задачах/ Н. В. Копченова, И. А. Марон. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1972.

Форма контроля: проверка конспекта.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Только сон приблежает студента к концу лекции. А чужой храп его отдаляет. 9301 — | 7872 — или читать все.

Рассмотрим вычислительную схему метода Зейделя на примере системы уравнений задания:

1. Задается точность ()

2. Проверяется условие сходимости матрицы:

3. Вычисление начальных приближений:

4. Нахождение приближений:

5. Критерий близости:

, заданная точность не достигнута.

Дальнейшие итерации выполняются аналогично (таблица 1).

Результат вычислений методом Зейделя

Решение достигается за 4 итерации. Корни СЛАУ:

1. Блок-схема программы

2. Описание подпрограмм

1) Имя: VVOD

Назначение: подпрограмма, осуществляющая считывание данных с листа MS Excel.

list — лист MS Excel, в котором содержаться исходные данные;

row — номер строки, с которой начинается считывание матрицы;

col — номер столбца, с которого начинается считывание матрицы;

n — число строк матрицы;

m — число столбцов матрицы.

М1 () — матрица исходных данных.

2) Имя: PROVERKA

Назначение: осуществляет проверку сходимости матрицы коэффициентов, сообщает результат проверки.

list — лист MS Excel, на который выводится результат проверки сходимости;

n — число строк и столбцов матрицы;

М1 () — матрица исходных данных.

3) Имя: ZEIDEL

Назначение: осуществляет решение СЛАУ, выводит процесс вычислений на лист MS Excel.

list — лист MS Excel, на который выводится вычисления;

n — число строк и столбцов матрицы;

М1 () — матрица коэффициентов;

М3 () — матрица, содержащая корни СЛАУ

4) Имя: VIVOD

Назначение: подпрограмма, осуществляющая вывод корней СЛАУ на лист MS Excel

Читайте также:  Эксель фильтр по цвету не работает

list — лист MS Excel, в который выводятся данные;

n — число строк матрицы корней;

М3 () — матрица корней.

3. Листинг подпрограммы

1) Основная программа

Dim C As Integer

C = InputBox ("Введите число переменных")

ReDim A (C, C) As Single

ReDim b (C, 1) As Single

ReDim X (C) As Single

Call VVOD (1, 2, 1, C, C, A ())

Call VVOD (1, 2, C + 1, C, 1, b ())

Call PROVERKA (1, C, A ())

Call ZEIDEL (1, C, A (), b (), X ())

Call VIVOD (1, C, X ())

2) Подпрограмма ввода данных

Sub VVOD (list As Integer, row As Integer, col As Integer, n As Integer, m As Integer, M1 () As Single)

Dim i As Integer

Dim j As Integer

M1 (i, j) = Worksheets (list). Cells (row + i — 1, col + j — 1). Value

3) Подпрограмма проверки сходимости

Sub PROVERKA (list As Integer, n As Integer, M1 () As Single)

Dim i As Integer

Dim j As Integer

Dim d As Integer

Dim sum As Integer

Worksheets (list). Cells (1, n + 3). Value = "Проверка сходимости"

If j <> i Then sum = sum + Abs (M1 (i, j))

If Abs (M1 (i, i)) > Abs (sum) Then d = d + 1

Worksheets (list). Cells (2, n + 3). Value = "Сходится"

Worksheets (list). Cells (2, n + 3). Value = "Не сходится"

4) Подпрограмма решения СЛАУ методом Зейделя

Sub ZEIDEL (list As Integer, n As Integer, M1 () As Single, M2 () As Single, M3 () As Single)

Dim i As Integer

Dim j As Integer

Dim g As Integer

Dim S As Single

ReDim m (n) As Single

ReDim X (n) As Single

Dim e As Single

Dim f As Single

Dim v As Single

‘Подсчет начальных приближений. Подготовка таблицы решения

X (i) = M2 (i, 1) / M1 (i, i)

Worksheets (list). Cells (n + 3, 1). Value = "№"

Worksheets (list). Cells (n + 3,2). Value = Str (g)

Worksheets (list). Cells (n + 4 + i, 1). Value = "X" + Str (i)

Worksheets (list). Cells (2 * n + 5 + i, 1). Value = "раз-ть X" + Str (i)

Worksheets (list). Cells (3 * n + 7, 1). Value = "MAX разность"

Worksheets (list). Cells (n + 4 + i, g + 2). Value = CInt (X (i) * 1000) / 1000

‘Подсчет суммы элементов

If i <> j Then S = S + M1 (i, j) * X (j)

X (i) = (1/M1 (i, i)) * (M2 (i, 1) — S)

Worksheets (list). Cells (n + 4 + i, g + 3). Value = CInt (X (i) * 1000) / 1000

m (i) = Abs (X (i) — v)

Worksheets (list). Cells (2 * n + 5 + i, g + 3). Value = CInt (m (i) * 10000) / 10000

‘Выбор наибольшей разности

Worksheets (list). Cells (3 * n + 7, g + 3). Value = CInt (f * 10000) / 10000

Worksheets (list). Cells (n + 3, g + 2). Value = g

Ссылка на основную публикацию
Лучшие драйвера nvidia для майнинга
Для пользователя, лишь поверхностно знакомого с майнингом криптовалют, все выглядит банально: установил соответствующее программное обеспечение — и свободен, пока GPU...
Кэш инстаграмма как достать фотографии
Instagram – популярный бесплатный сервис для обмена фотографиями. Каждый раз при запуске приложения и загрузке (просмотре) фотографий и видео копии...
Летом мы почти каждый день можем наблюдать
Прочитайте текст и выполните задания 1-3. (1) Летом мы почти каждый день можем наблюдать образование белых, похожих на хлопья ваты...
Макрос на быстрый клик
Макрос кликер. Что он делает и зачем он нужен? В игре Dota 2, как вы скорее всего знаете, есть встроенный...
Adblock detector