Как найти расстояние между точками вектора

Как найти расстояние между точками вектора

Формула для вычисления расстояния от точки до прямой в пространстве

Если s = — направляющий вектор прямой l , M1( x 1, y 1, z 1) — точка лежащей на прямой, тогда расстояние от точки M( x , y , z ) до прямой l можно найти, используя формулу

d = | MM1 × s |
| s |

Вывод формулы вычисления расстояния от точки до прямой в пространстве

Если задано уравнение прямой l то несложно найти s = — направляющий вектор прямой и M1( x 1, y 1, z 1) — координаты точки лежащей на этой прямой. Из свойств векторного произведения известно, что модуль векторного произведения векторов равен площади параллелограмма построенного на этих векторах

С другой стороны площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту проведенную к этой стороне

В нашем случае высота будет равна расстоянию от точки до плоскости d , а сторона параллелограмма равна модулю направляющего вектора s .

Приравняв площади несложно получить формулу расстояния от точки до прямой.

Примеры задач на вычисление расстояния от точки до прямой в пространстве

x — 3 = y — 1 = z + 1
2 1 2

Из уравнения прямой получим:

s = < 2; 1; 2 >- направляющий вектор прямой;
M1(3; 1; -1) — точка лежащая на прямой.

MM1 × s = i j k =
3 -1 -4
2 1 2

d = | MM1 × s | | s | = √ 2 2 + (-14) 2 + 5 2 √ 2 2 + 1 2 + 2 2 = √ 225 √ 9 = 15 3 = 5

Ответ: расстояние от точки до прямой равно 5.

  • +7 (953) 35-222-89
  • Санкт-Петербург, Лиговский пр.52
  • Kyziaha@gmail.com

Метод координат (расстояние между точкой и плоскостью, между прямыми)

Расстояние между точкой и плоскостью.

Расстояние между точкой и прямой.

Расстояние между двумя прямыми.

Первое, что полезно знать, это как найти расстояние от точки до плоскости:

Значения A, B, C, D — коэффициенты плоскости

x, y, z — координаты точки

Задача. Найти расстояние между точкой А = (3; 7; −2) и плоскостью 4x + 3y + 13z — 20 = 0.

Все дано, можно сразу подставить значения в уравнение:

Читайте также:  Lexmark z600 series драйвер для windows 10

Задача. Найдите расстояние от точки К = (1; −2; 7) до прямой, проходящей через точки V = (8; 6; −13) и T = (−1; −6; 7).

  1. Находим вектор прямой.
  2. Вычисляем вектор, проходящий через искомую точку и любую точку на прямой.
  3. Задаем матрицу и находим определитель по двум полученным векторам в 1-ом и 2-ом пункте.
  4. Расстояние получим, когда квадратный корень из суммы квадратов коэффициентов матрицы поделим на длину вектора, который задает прямую (Думаю непонятно, поэтому перейдем к конкретному примеру).

1) TV = (8−(−1); 6−(−6); -13-7) = (9; 12; −20)

2) Вектор найдем через точки K и T, хотя так же можно было бы через K и V или любую другую точку на данной прямой.

TK = (1−(−1); −2−(−6); 7-7) = (2; 4; 0)

3) П олучится м атрица без коэффициента D (здесь он не нужен для решения):

Если непонятно, как получить матрицу и ее определитель, смотрите здесь более подробный разбор.

4) Плоскость получилась с коэффициентами А = 80, В = 40, С = 12,

x, y, z — координаты вектора прямой, в данном случае — вектор TV имеет координаты (9; 12; −20)

Задача. Найти расстояние между прямой, проходящей через точки Е = (1; 0; −2), G = (2; 2; −1), и прямой, проходящей через точки M = (4; −1; 4), L = (−2; 3; 0).

  1. Задаем векторы обеих прямых.
  2. Находим вектор, взяв по одной точке с каждой прямой.
  3. Записываем матрицу из 3-х векторов (две строчки из 1-го пункта, одна строчка из 2-го) и находим ее численный определитель.
  4. Задаем матрицу из двух первых векторов (в пункте 1). Первую строчку задаем как x, y, z.
  5. Расстояние получим, когда разделим получившееся значение из пункта 3 по модулю на квадратный корень из суммы квадратов пункта 4.
Читайте также:  Как подключить блютуз джойстик к ноутбуку

Перейдем к цифрам:

1) EG = (2−1; 2−0; −1−2) = (1; 2; −3)

ML = (−2−4; 3−(−1); 0−4) = (−6; 4; −4)

2) Найдем вектор EM (можно было так же найти EL или GM, или GL).

EM = (1−4; 0−(−1); −2−4) = (−3; 1; −6)

3) Составляем матрицу из трех выше найденных векторов и находим определитель.

4) Составляем матрицу из первых двух выше найденных векторов и находим определитель

без коэффициента D (здесь он не нужен для решения).

Вспомним, что уравнение плоскости задается так:

В нашем случае А = 4, В = 22, С = 16, D = 0.

5) Итоговая формула выглядит так, где L= −86 (из 3 пункта)

Ссылка на основную публикацию
Как назвать группу класса
Блоки page — корневой элемент страницы header — шапка (страницы или элемента) footer — подвал (страницы или элемента) section —...
Как изменить разрешение рисунка
Главное нужно указать файл на вашем компьютере или телефоне, ввести размеры в пикселях и нажать кнопку ОК. Остальные настройки выставлены...
Как изменить рисунок в фотошопе
某些 Creative Cloud 应用程序、服务和功能在中国不可用。 Команда Размер изображения в Photoshop содержит метод сохранения детализации и обеспечивает повышенную резкость при увеличении изображений....
Как назвать имя в инстаграме
В 2018 году количество пользователей Instagram превысило один миллиард. Уже более миллиарда вариаций ника занято. И с каждым годом решить...
Adblock detector