 |
Решение задач
Андрей
facebook:
dniprovets25
Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.
Подынтегральное выражение можно преобразовать из произведения тригонометрических функций в сумму
Рассмотрим интегралы, в которых подынтегральная функция представляет собой произведение синусов и косинусов первой степени от икса, умноженного на разные множители, то есть интегралы вида
(1)
Воспользовавшись известными тригонометрическими формулами
(2)
(3)
(4)
можно преобразовать каждое из произведений в интегралах вида (31) в алгебраическую сумму и проинтегрировать по формулам
(5)
(6)

Решение. По формуле (2) при



Применяя далее формулу (5), получим


Решение. По формуле (3) при
получаем следующее преобразование подынтегрального выражения:


Применяя далее формулу (6), получим


Решение. По формуле (4) при
получаем следующее преобразование подынтегрального выражения:

Применяя формулу (6), получим

Интеграл произведения степеней синуса и косинуса одного и того же аргумента
Рассмотрим теперь интегралы от функций, представляющих собой произведение степеней синуса и косинуса одного и того же аргумента, т.е.
(7)
В частных случаях один из показателей (m или n) может равняться нулю.
При интегрировании таких функций используется то, что чётную степень косинуса можно выразить через синус, а дифференциал синуса равен cos x dx (или чётную степень синуса можно выразить через косинус, а дифференциал косинуса равен — sin x dx ) .
Следует различать два случая: 1) хотя бы один из показателей m и n нечётный; 2) оба показателя чётные.
Пусть имеет место первый случай, а именно показатель n = 2k + 1 — нечётный. Тогда, учитывая, что


Подынтегральное выражение представлено в таком виде, что одна его часть – функция только синуса, а другая – дифференциал синуса. Теперь с помощью замены переменной t = sin x решение сводится к интегрированию многочлена относительно t. Если же только степень m нечётна, то поступают аналогично, выделяя множитель sinx, выражая остальную часть подынтегральной функции через cos x и полагая t = cos x . Этот приём можно использовать и при интегрировании частного степеней синуса и косинуса, когда хотя бы один из показателей — нечётный. Всё дело в том, что частное степеней синуса и косинуса — это частный случай их произведения: когда тригонометрическая функция находится в знаменателе подынтегрального выражения, её степень — отрицательная. Но бывают и случаи частного тригонометрических функций, когда их степени — только чётные. О них — следующем абзаце.
Если же оба показателя m и n – чётные, то, используя тригонометрические формулы

понижают показатели степени синуса и косинуса, после чего получится интеграл того же типа, что и выше. Поэтому интегрирование следует продолжать по той же схеме. Если же один из чётных показателей — отрицательный, то есть рассматривается частное чётных степеней синуса и косинуса, то данная схема не годится. Тогда используется замена переменной в зависимости от того, как можно преобразовать подынтегральное выражение. Такой случай будет рассмотрен в следующем параграфе.
Пример 4. Найти интеграл от тригонометрической функции

Решение. Показатель степени косинуса – нечётный. Поэтому представим


и произведём замену переменной t = sin x (тогда dt = cos x dx ). Тогда получим

Возвращаясь к старой переменной, окончательно найдём

Пример 5. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Показатель степени косинуса, как и в предыдущем примере – нечётный, но больше. Представим


и произведём замену переменной t = sin x (тогда dt = cos x dx ). Тогда получим

и получим

Возвращаясь к старой переменной, получаем решение

Пример 6. Найти интеграл от тригонометрической функции

Решение. Показатели степени синуса и косинуса – чётные. Поэтому преобразуем подынтегральную функцию так:


Во втором интеграле произведём замену переменной, полагая t = sin2x . Тогда (1/2)dt = cos2x dx . Следовательно,



Найти интеграл от тригонометрической функции самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 7. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Использование метода замены переменой
Метод замены переменной при интегировании тригонометрических функций можно применять в случаях, когда в подынтегральном выражении присутствует только синус или только косинус, произведение синуса и косинуса, в котором или синус или косинус — в первой степени, тангенс или котангенс, а также частное чётных степеней синуса и косинуса одного и того же аргумента. При этом можно производить перестановки не только sinx = t и sinx = t , но и tgx = t и ctgx = t .
Пример 8. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Произведём замену переменной:
, тогда
. Получившееся подынтегральное выражение легко интегрируется по таблице интегралов:
.
Возвращаясь к первоначальной переменной, окончательно получаем:

Пример 9. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Преобразуем тангенс в отношение синуса и косинуса:
.
Произведём замену переменной:
, тогда
. Получившееся подынтегральное выражение представляет собой табличный интеграл со знаком минус:
.
Возвращаясь к первоначальной переменной, окончательно получаем:
.
Пример 10. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Произведём замену переменной:
, тогда
.
Преобразуем подынтегральное выражение, чтобы применить тригонометрическое тождество
:

Производим замену переменной, не забывая перед интегралом поставить знак минус (смотрите выше, чему равно dt ). Далее раскладываем подынтегральное выражение на множители и интегрируем по таблице:
.
Возвращаясь к первоначальной переменной, окончательно получаем:
.
Найти интеграл от тригонометрической функции самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 11. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Универсальная тригонометрическая подстановка
Универсальную тригонометрическую подстановку можно применять в случаях, когда подынтегральное выражение не подпадает под случаи, разобранные в предыдущих параграфах. В основном, когда синус или косинус (или и то, и другое) находятся в знаменателе дроби. Доказано, что синус и косинус можно заменить другим выражением, содержащим тангенс половины исходного угла следующим образом:

где
.
Тогда
.
Но заметим, что универсальная тригонометрическая подстановка часто влечёт за собой довольно сложные алгебраические преобразования, поэтому её лучше применять, когда никакой другой метод не работает. Разберём примеры, когда вместе с универсальной тригонометрической подстановкой используются подведение под знак дифференциала и метод неопределённых коэффициентов.
Пример 12. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда
.
Дроби в числителе и знаменателе умножаем на
, а двойку выносим и ставим перед знаком интеграла. Тогда

Чтобы в результате преобразований прийти к табличному интегралу, попытаемся получить в знаменателе полный квадрат. Для этого умножим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на 2. Применяем интегрирование подведением под знак дифференциала. Получим

К полученному результату преобразований можем теперь применить табличный интеграл 21. В результате получаем окончательное решение:
.
Пример 13. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда
.
Дроби в числителе и знаменателе умножаем на
, а двойку выносим и ставим перед знаком интеграла. Тогда
.
Чтобы в результате преобразований прийти к табличному интегралу, попытаемся получить в знаменателе полный квадрат. Для этого умножим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на 3. Применяем интегрирование подведением под знак дифференциала. Получим

К полученному результату преобразований можем теперь применить табличный интеграл 21. В результате получаем окончательное решение:
.
Пример 14. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда

Используем метод неопределённых коэффициентов. Получим следующее подынтегральное выражение:

Чтобы найти коэффициенты, решим систему уравнений:


Используем подведение под знак дифференциала:

К последнему слагаемому применяем замену переменной
, тогда
. Получаем:

Преобразуем и вернём на место первоначальную переменную и окончательно получим решение: