Формула нахождения длины медианы

Формула нахождения длины медианы

В треугольнике медианой есть линия, соединяющая вершину с серединой противоположной стороны. Каждый треугольник имеет 3 медианы — AX , BY , CZ . Три медианы пересекаются в одной точке — центре тяжести треугольника — точке G .

Точка G разделяет медианы в отношении 2:1 т.e.:

Формулы для нахождения длины медианы

Обычно, длина медиан обозначается как ma, mb, mc.

Медиана — отрезок |AO|, который выходит из вершины A и делит противолежащею сторону c пополам.

Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO.

M — медиана, отрезок |AO|

c — сторона на которую ложится медиана

a, b — стороны треугольника

γ — угол CAB

Формула длины медианы через три стороны, ( M ):

Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, ( M ):

Определение

Медиана – это отрезок, соединяющий высоту и середину противоположной стороны. В треугольнике три вершины, а значит и медианы три. Медианы не всегда совпадают с высотами или биссектрисами. Чаще всего это отдельные отрезки.

Свойства медиан

  • Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, совпадает с высотой и биссектрисой. В равностороннем треугольнике все медианы совпадают с биссектрисами и высотами.
  • Все медианы треугольника пересекаются в одной точке.
  • Медиана делит треугольник на два равновеликих, а три медианы, на 6 равновеликих треугольника.

Рис. 1. Три медианы образуют 6 равновеликих треугольника.

  • Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, считая от вершины.
  • Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.

Задачи

Все эти свойства несложно запомнить, они легко закрепляются на практике. Для большего понимания темы, решим несколько задач:

  • В прямоугольном треугольнике известны катеты, которые равны a=3 и b=4. Найти значение медианы m, проведенной к гипотенузе c.

Рис. 2. Рисунок к задаче.

Читайте также:  Экранирование постоянного магнитного поля

Для того, чтобы найти значение медианы, нам необходимо найти гипотенузу, так как медиана, проведенная к гипотенузе равна ее половине. Гипотенуза через теорему Пифагора: $$a^2+b^2=c^2$$

Найдем значение медианы: $$m==<5over2>=2,5$$ – получившееся число и есть значение медианы.

Значения медиан в треугольнике не равны. Поэтому нужно обязательно представлять, какую именно величину необходимо найти.

  • В треугольнике известны значения сторон : a=7; b=8; c=9. Найти значение медианы, опущенной к стороне b.

Рис. 3. Рисунок к задаче.

Чтобы решить эту задачу нужно воспользоваться одной из трех формул для нахождения медианы по сторонам треугольника:

Как видно, главное здесь запомнить коэффициент при скобках и знаки у значения сторон. Знаки запомнить проще всего – вычитается всегда сторона, к которой опущена медиана. В нашем случае это b, но может быть любая другая.

Подставим значения в формулу и найдем величину медианы: $$m=sqrt<<1over2>*(a^2+c^2-b^2)>$$

$$m=sqrt<<1over2>*(49+81-64)>=sqrt<33>$$ – оставим результат в виде корня.

  • В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию равна 8, а само основание 6. Вместе с оставшимися двумя, эта медиана делит треугольник на 6 треугольников. Найти площадь каждого из них.

Медианы, разбивают треугольник на шесть равновеликих. Значит, площади малых треугольников будут равны между собой. Достаточно найти площадь большего и поделить ее на 6.

Дана медиана, проведенная к основанию, в равнобедренном треугольнике она является биссектрисой и высотой. Значит в треугольнике известны основание и высота. Можно найти площадь.

Площадь каждого из малых треугольников: $$<24over6>=4$$

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое медиана. Определили свойства медианы, и нашли решение типовых задач. Поговорили о базовых ошибках и разобрались как просто и быстро запомнить формулу нахождения медианы через стороны треугольника.

Ссылка на основную публикацию
Файловый менеджер для ubuntu server
Работа с файлами в операционной системе Ubuntu осуществляется через соответствующий менеджер. Все дистрибутивы, разработанные на ядре Linux, позволяют юзеру всячески...
Удалить одноклассники страницу с телефона айфон
Если вы хотите удалить свою страницу (профиль) в Одноклассниках, особенно если это требуется сделать со смартфона Android или iPhone —...
Удалить папку не удалось найти этот элемент
В этой инструкции подробно о том, как удалить файл или папку, если при попытке это сделать в Windows 10, 8...
Файлы dll чем открыть
Файлы формата DLL открываются специальными программами. Существует 2 типа форматов DLL, каждый из которых открывается разными программами. Чтобы открыть нужный...
Adblock detector