Фазовый портрет затухающих колебаний

Фазовый портрет затухающих колебаний

Фазовые портреты нелинейных систем в окрестности особых точек близки к фазовым портретам линеаризованных систем. В связи с этим рассмотрим особенности фазовых портретов и особых точек линейных систем второго порядка, в зависимости от расположения корней характеристического полинома.

Пусть переходный процесс в некоторой системе описывается уравнением второго порядка:

.

Введем обозначение для скорости изменения отклонения управляемой величины y=dx/dt. Тогда уравнение второго порядка преобразуется к системе уравнений в форме Коши:

.

Исключим из последних уравнений время t, разделив первое из них на второе

Решение y = φ(x) этого дифференциального уравнения с одной произвольной постоянной определяет собой некоторое семейство так называемых интегральных кривых на фазовой плоскости (x,y) каждая из которых соответствует одному определенному значению произвольной постоянной.

Вся совокупность интегральных кривых представит собой все возможные фазовые траектории, а значит, и все возможные виды переходного процесса в данной системе при любых начальных условиях.

Рассмотрим отдельно различные случаи. Корни характеристического уравнения рассматриваемой системы

Возможны шесть случаев расположения этих корней на комплексной плоскости:

1) корни чисто мнимые при a1 = 0, a2>0 (колебательная граница устойчивости линейной системы);

2) корни комплексные и имеют отрицательные вещественные части при

a1 2 0, a2 > 0 (устойчивая линейная система);

3) корни комплексные и имеют положительные вещественные части

при a1 2 0 (неустойчивая линейная система);

4) корни вещественные отрицательные при a1 2 0 (устойчивая линейная система);

5) корни вещественные положительные при a1 2 0 (неустойчивая линейная система);

6) корни вещественные и имеют разные знаки при a2 2 , причем A – произвольная постоянная интегрирования.

Рис.2.3. Фазовый портрет консервативного звена

Итак, периодическим колебаниям системы соответствует движение изображающей точки по замкнутой кривой (см.рис.2.3).

Во втором случае (комплексные корни с отрицательными вещественными частями), как известно, имеют место затухающие колебания

,

Произвольные постоянные A и β определяются из начальных условий:

Рис.2.4. Фазовый портрет устойчивого колебательного звена

Значения x и у не возвращаются за период колебания к прежним, а становятся меньше. Это дает на фазовой плоскости (x, y) кривую (см.рис.2.4), которая за один оборот не возвращается в прежнюю точку, а подходит ближе к началу координат.

Итак, затухающим колебаниям системы отвечают фазовые траектории в виде спиралей, по которым изображающая точка приближается к началу координат (см.рис.2.4).

В следующем случае (комплексные корни с вещественными частями большими нуля) переходный процесс соответствует расходящимся колебаниям (рис.2.5). Рассуждая аналогично предыдущему, получим всю совокупность возможных фазовых траекторий тоже в виде спиралей, но только изображающая точка будет двигаться по ним не к началу координат, а от него.

Рис.2.5. Фазовый портрет неустойчивого колебательного звена

В четвертом случае (вещественные отрицательные корни) переходный процесс соответствует уравнениям

где

На рис.2.6показаны три возможных варианта протекания такого процесса.

Рис.2.6. Фазовый портрет устойчивого апериодического звена

Итак, затухающим апериодическим процессам в системе отвечают фазовые траектории, вливающиеся в начало координат.

Пятый случай (вещественные положительные корни) соответствует также апериодическому процессу, определяемому теми же уравнениями (7), но при a1 2 = — a2, причем для простоты построений рассмотрим случай a1 = 0, что соответствует согласно (3) уравнению системы dy/dt – α 2 x = 0 и согласно (5) – уравнению фазовых траекторий

Рис.2.7. Фазовый портрет неустойчивого апериодического звена

Интегрирование этого уравнения аналогично случаю 1 дает

т.е. семейство гипербол, изображенное на рис.2.6.

Направления движения изображающей точки M по фазовым траекториям, показанные на рис.2.6, легко определяются в каждой четверти плоскости по знаку dy / dx (8).

Аналогичная картина фазовых траекторий получится в данном случае и при a1 0.

Рис.2.8. Фазовый портрет звена с отрицательным статизмом

Итак, расходящимся апериодическим процессам в системе отвечают фазовые траектории типа рис.2.7или типа рис.2.8, причем изображающая точка, двигаясь по ним, в конечном итоге удаляется от начала координат.

В целом фазовые портреты линейных систем могут быть следующих видов:

а) центр, когда корни характеристического уравнения мнимые, сопряженные;

б) устойчивый фокус, когда корни характеристического уравнения комплексные, сопряженные, с отрицательной вещественной частью;

в) неустойчивый фокус, когда корни характеристического уравнения комплексные, сопряженные, с положительной вещественной частью;

г) устойчивый узел при вещественных отрицательных корнях;

д) неустойчивый узел при вещественных положительных корнях;

е) седло при вещественных корнях разных знаков.

Рассмотренные фазовые портреты линейной системы второго порядка показывают, что по характеру фазовых траекторий можно непосредственно судить об устойчивости движения системы и об её динамической характеристике. Нелинейные элементы искажают характер фазовых траекторий. Но в принципе эти траектории имеют такой же вид, такое же название и такую же зависимость от корней характеристического уравнения. По фазовому портрету нелинейной системе так же можно анализировать её динамическую характеристику.

Контрольные вопросы для самоподготовки

1. При каком значении демпфирования в колебательном звене фазовый портрет имеет вид устойчивого предельного цикла?

2. При каком значении демпфирования в колебательном звене фазовый портрет имеет вид устойчивого фокуса?

3. При каком значении демпфирования в колебательном звене фазовый портрет имеет вид неустойчивого фокуса?

4. При каком значении демпфирования в звене фазовый портрет имеет вид устойчивого узла?

5. При каком значении демпфирования в звене фазовый портрет имеет вид неустойчивого узла?

6. При каком значении демпфирования в звене фазовый портрет имеет вид седла?

Читайте также:  Где установить виндовс 10 на ноутбук

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студента самое главное не сдать экзамен, а вовремя вспомнить про него. 10546 — | 7758 — или читать все.

В любой колебательной системе с одной степенью свободы смещение (t) и скорость меняются со временем. Состояние системы в каждый момент времени можно характеризовать двумя значениямиии на плоскости этих переменных это состояние однозначно определяется положением изображающей точки P с координатами значениямии. С течением времени изображающая точка P будет перемещаться по кривой, которую называют фазовой траекторией движения (рис. 1.10).

Рис.5.1. Фазовый портрет

Плоскость переменных значениями и называется фазовой плоскостью. Семейство фазовых траекторий образует фазовый портрет колебательной системы. Анализ фазового портрета дает хотя и не полную, но обширную информацию о колебательной системе. К построению такого портрета прибегают тогда, когда не удается решить аналитически уравнение, описывающее сложные колебания. В первую очередь это относится к нелинейным колебаниям, анализ которых затруднен из-за отсутствия за редким исключением точных решений нелинейных уравнений.

Приведем пример построения фазовой траектории. Пусть небольшой упругий шарик брошен вертикально вверх с начальной скоростью (рис.5.2). Если пренебречь сопротивлением воздуха, то скорость шарика будет изменяться со временем по закону, гдеg− ускорение свободного падения. Изменение координаты шарика с течением времени описывается функцией . Поднявшись на максимальную высо соту, шарик начнет падать, упадет на горизонтальную поверхность и отразится от неё.

Рис. 5.2. Периодическое движение прыгающего шарика

Если удар можно считать абсолютно упругим, то скорость шарика после удара примет первоначальное значение, после чего движение шарика будет повторяться. Графики зависимостей координаты и скорости шарика от времени показаны на рис.

Рис.5.3. Фазовый портрет гармонических колебаний

Эти же функции значениями иопределяют в параметрической форме линию на фазовой плоскости – фазовую траекторию движения шарика. Эта линия показана на рис. Понятно, что при периодическом движении фазовая траектория является замкнутой, точка проходит одни те же положения через период. На фазовой траектории принято указывать направление движения: при положительной скорости координата возрастает, а при отрицательной скорости координата убывает.

Вначале рассмотрим пример простейших гармонического колебания вида . Поскольку скорость

опережает смещение по фазе на, то фазовая траектория будетэллипсом. Точка P будет двигаться по эллиптической траектории по часовой стрелке (при смещениеувеличивается, а при— смещение уменьшается (рис. 5.4)).

Рис. 5.4. Фазовый портрет

Параметры эллипса определяются энергией, запасенной гармоническим осциллятором. Потенциальная энергия пружинного маятника пропорциональна квадрату смещения:

Кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости:

Если принять во внимание равенство то легко видеть, что взаимопревращения одного вида энергии в другой за период происходят дважды. При этом полная энергия системы остается постоянной:

Равенство (1.26) как раз и является уравнением эллипса, которое можно переписать в более удобном виде:

Фазовый портрет гармонического осциллятора представляет собой семейство эллипсов, каждому из которых соответствует энергия запасенная осциллятором.

Положение равновесия в точке 0 на фазовой плоскости является особой точкой и называется особой точкой типа "центр".

Линейный осциллятор с затуханием. Диссипация энергии, обусловленная наличием потерь, оказывает принципиальное влияние на характер движения системы. Наиболее простые закономерности проявляются в системах с полной диссипацией энергии, когда силы трения действуют по всем степеням свободы, а поступление энергии извне отсутствует. Рассмотрим процессы в линейном диссипативном осцилляторе, когда сила трения пропорциональна скорости изменения координаты. Примером такой системы служит колебательный контур, содержащий активное сопротивление R. Уравнение контура

(19)

заменой переменных сводится к безразмерной форме

(20)

При d = 0 имеем консервативный линейный осциллятор, рассмотренный выше. Введение малого трения качественно меняет фазовый портрет системы. Для 0 1, процесс в системе апериодический:

(22)

и фазовые траектории выглядят как семейство характерных кривых, по которым, как и в предыдущем случае, изображающие точки стремятся к нулю координат (рис. 5.5). Особая точка в указанных условиях является устойчивым узлом.

Рис.5.5. Фазовый портрет диссипативного ( с потерей энергии) осциллятора с параметрами коэффициента затухания β 1 (апериодический режим)

Итак, при любых значениях физических параметров системы, когда β>0 , диссипативный маятник характеризуется единственным глобально устойчивым состоянием равновесия в нуле фазовых координат. Независимо от выбора начальных условий наблюдается затухающее колебательное или апериодическое движение. При любая (!) изображающая точка стремится к началу координат в устойчивый фокус либо узел.

Описанное свойство является общим для динамических систем с полной диссипацией энергии. Положения равновесия типа устойчивого фокуса или узла являются здесь глобально притягивающими в том смысле, что фазовые траектории из любой точки фазового пространства асимптотически к ним стремятся. Стационарные незатухающие колебания в линейных диссипативных системах оказываются невозможными. С физической точки зрения это понятно — нет условий поддержания колебаний. Энергия, расходуемая на преодоление сил трения, не восполняется.

С увеличением энергии возрастают амплитуды колебаний смещения и скорости Колебания, как правило, перестают быть гармоническими, а фазовые траектории — эллипсами.

Рис. 5.6. Колебательное или вращательное движение массы

Проанализируем на фазовой плоскости колебания математического маятника при произвольных углах отклонения от положения равновесия. При этом будем считать, что точечная масса прикреплена не к нити, а к жесткому невесомому стержню длины Первое из уравнений запишем в виде

Читайте также:  Предел arctg x в бесконечности

Это нелинейное уравнение не имеет точного аналитического решения, поэтому позднее мы приведем его приближенное решение. Однако многие закономерности таких колебаний можно проанализировать с использованием фазового портрета на плоскости С этой целью уравнение движение надо преобразовать к такому виду, чтобы в нем остались только эти переменные, а время было бы исключено. Для этого угловое ускорение в левой части преобразуем к виду:

Подставляя в уравнгение движения, получим

Полученное уравнение отражает тот факт, что приращение кинетической энергии маятника равно убыли его потенциальной энергии в поле силы тяжести. Интегрируя уравнение, получим

Если принять, что потенциальная энергия маятника в положении равновесия равна нулю, то константа выражается через запасенную маятником энергию ( угловая скорость маятника в положении равновесия):

Уравнение фазовой траектории окончательно запишется в виде:

При этом потенциальная и кинетическая энергии задаются выражениями

Используя (1.33), построим фазовый портрет системы (рис.5.7).

Рис. 5.7.Фазовый портрет колебания точки описывает возможность колебательного и вращательного движения массы

Отчетливо видны два типа фазовых траекторий, соответствующие двум типам движения: замкнутым (колебания) и незамкнутым (вращение вокрыг точки подвеса) траекториям

Замкнутые траектории, окружающие особые точки типа "центр" с координатами ( — целое число), соответствуют колебаниям маятника относительно устойчивого нижнего положения равновесия. Такие колебания имеют место, если энергия системы (см. рис. 5.7). При этом, если то колебания будут гармоническими, а фазовые траектории — эллипсами. Если то колебания будут негармоническими. При увеличении энергии, а, значит, и амплитуды колебаний осциллятора, их период будет возрастать, поскольку возвращающая сила в уравнении (1.28) меньше, чем в случае гармонического осциллятора.

Верхнему положению равновесия с координатами соответствуют особые точки типа "седло".

Фазовые кривые, проходящие через неустойчивые точки , "седла", соответствуют энергии и называются сепаратрисами. Они разделяют фазовое пространство на области с различным поведением. С увеличением энергии маятника его колебания от квазигармонических вблизи точек типа центр эволюционируют к нелинейным периодическим колебаниям вблизи сепаратрис. Дальнейшее увеличение энергии приведет к вращательному движению (движение вне сепаратрис). Малейшие отклонения энергии в ту или иную сторону от энергии движения по сепаратрисе приводят к качественно различным типам движения: колебательному или вращательному.

Таким образом, сепаратрисы разделяют фазовую плоскость на две области: область замкнутых траекторий (колебательный процесс) и область траекторий, приходящих из бесконечности и уходящих в бесконечность.

Отметим, что негармонические колебания нельзя характеризовать частотой", поскольку такие колебания являются, как правило, суперпозицией гармонических колебаний с различными частотами. Период же является по-прежнему одной из главных характеристик колебаний. Фазовый портрет не позволяет определить, как быстро движется точка Р по траектории. Однако период нелинейных колебаний математического маятника можно получить на основе приближенного решения уравнения (1.28).

Что такое фазовая плоскость?

Что такое фазовая траектория?

Что такое фазовый портрет колебаний?

Какой вид имеет фазовый портрет гармонического осциллятора без потерь?

Какой вид имеет фазовый портрет гармонического осциллятора с потерями?

Что такое узел на фазовом портрете колебаний?

Что такое седло на фазовом портрете колебаний?

Что такое сепаратрисса на фазовом портрете колебаний?

Как будет выглядеть фазовый портрет с усилением колебаний?

Где используются фазовые портреты колебаний?

Лекция 6. Затухающие колебания. Вынужденные колебания. Резонанс.

Свободные незатухающие колебания являются идеализацией, моделью применимой на небольших временных интервалах. В реальных механических колебательных системах всегда присутствуют диссипативные силы (силы трения, силы вязкости), приводящие к уменьшению механической энергии системы из-за ее перехода в другие формы, например, в тепловую. Рассмотрим особенности колебательного движения при наличии диссипации.

Очень часто в ряде наук встречается ситуация, когда модель рассматриваемого процесса сводится к дифференциальному уравнению. Причём, в большинстве реальных задач это уравнение довольно сложно решить, или совсем невозможно. И вот тут в полный голос звучит извечный вопрос: как быть?

Встречайте: фазовые портреты (они же фазовые диаграммы). Простым языком, фазовый портрет — это то, как величины, описывающие состояние системы (a.k.a. динамические переменные), зависят друг от друга. В случае механического движения это координата и скорость, в электричестве это заряд и ток, в известной популяционной задаче это количество хищников и жертв и т.д.

Чем хороши фазовые портреты? А тем, что их можно построить не решая динамические уравнения системы. В некоторых случаях построение фазового портрета становится совсем простой задачей. Однако, одновременно с этим, фазовые портреты дают вдумчивому наблюдателю очень много информации о поведении системы.

Начнём с простого примера — малых колебаний (так же называемых гармоническими). Малые колебания встречаются почти в каждой сфере естественных наук. Для определённости, будем рассматривать колебания металлического стержня, подвешенного за один из концов (частный случай так называемого физического маятника). Можно показать, что его колебания описываются следующим дифференциальным уравнением:

Где x — угол отклонения стержня от вертикали, точка над x означает производную по времени, а коэффициент перед синусом зависит от размера и массы стержня.

Читайте также:  Как обжать сетевой кабель без обжимника

Если амплитуда (размах) колебаний достаточно мала, синус можно приближенно заменить его аргументом (вы ведь помните первый замечательный предел, нет?). В таком случае, уравнение принимает следующий вид:

Это уравнение легко решается регулярными методами, но, давайте, попробуем применить к нему метод фазовых портретов. Для этого, домножим уравнение на производную и проинтегрируем его один раз по времени:

Получилось выражение, первый член которого выглядит как кинетическая энергия. Это не случайно — на самом деле мы получили именно закон сохранения энергии. Постоянная Е в правой части (полная энергия системы на единицу массы) может принимать различные значения, которые соответствуют разным начальным состояниям системы.

Полученный нами закон сохранения превратился в уравнение кривой на плоскости (x,u):

Для разных значений Е мы получим разные кривые. Нарисуем несколько таких линий для разных значений энергии:


По горизонтальной оси отложена величина x, по вертикальной — u

Каждая из полученных линий называется фазовой траекторией. Когда меняется состояние системы, изображающая её точка движется по одной из этих траекторий, стрелки указывают направление движения изображающей точки.

По графику видно, что значения скорости и координаты меняются циклическим образом, то есть периодически повторяются. Отсюда можно сделать вывод, что описываемая рассмотренным уравнением система будет совершать колебания. Бинго! Именно так ведёт себя маятник, и если решить уравнение, решение будет иметь вид периодических функций (а именно — комбинации синуса и косинуса).

Следует однако помнить, что замена синуса его аргументом оправдана лишь для малых углов отклонения (от 10 градусов и меньше), поэтому мы не можем доверять тем траекториям, которые выходят за границы области, ограниченной жирными пунктирными линиями, то есть из четырех приведенных траекторий лишь оранжевая достоверно отображает реальность. Кроме того, поскольку x это угол, то его значения, соответствующие 180 и -180 градусам описывают одно и то же положение стержня, то есть правая и левая пунктирные линии (тонкие) на графике это на самом деле одна и та же линия.

Теперь, поскольку нам понятна суть, можно перейти к чему-то посложнее. Выше мы очень сильно упростили уравнение и при этом ограничили себя только малыми колебаниями. Математик бы сказал, что мы линеаризовали уравнение и пренебрегли нелинейными эффектами. Так давайте включим в рассмотрение нелинейность. Вернёмся к самому первому уравнению — с синусом. Если мы повторим с ним то, что проделали с линейным уравнением, мы получим следующий закон сохранения:

В зависимости от значения энергии, мы опять получаем разные кривые, которые приведены на следующем рисунке, причем выбраны те же значения энергии, что и на первой диаграмме, и те же цвета для линий.


По горизонтальной оси отложена величина x, по вертикальной — u

Как видите, процессы происходящее в системе стали более разнообразными:

При малых энергиях (оранжевая и синяя траектории) существует колебательный режим, но колебания уже не являются гармоническими — фазовые траектории уже не имеют форму эллипсов.

При больших энергиях (зеленая траектория) колебаний уже нет, вместо этого мы получаем вращательное движение с переменной скоростью. И действительно, если достаточно сильно «толкнуть» стержень, он будет вращаться, замедляясь при подъёме и ускоряясь при спуске.

При определенном промежуточном значении энергии получается особый набор траекторий, которые отделяют друг от друга области соответствующие разным типам движения и поэтому называются сепаратрисами. И да, значение энергии для красной кривой было выбрано мной именно так, чтобы в нелинейном случае получилась сепаратриса. Каждая ветвь сепаратрисы это траектория, соответствующая особому типу движения. Посмотрим на диаграмму: движение начинается с очень маленькой скоростью от одного крайнего положения стержня, при приближении к положению равновесия скорость растёт, а после изображающая точка все более замедляясь уходит к крайнему положению, где и останавливается. Это соответствует тому, что мы поднимаем стержень вертикально вверх и отпускаем его, проносясь через положение равновесия он поднимается к верхней точке с другой стороны и останавливается.

А теперь давайте посмотрим насколько близки к истине наши выводы, сделанные на основе фазовых портретов. Перед вами график решения линейного уравнения:


По горизонтальной оси отложено время, по вертикальной — x


По горизонтальной оси отложено время, по вертикальной — x

Цветовая маркировка на этих графиках такая же, как и на фазовых портретах. Судить о том, насколько верные выводы были сделаны на основе фазовых портретов я предоставлю вам, дорогие читатели. Обращу ваше внимание только на один момент — колебания в линейном случае происходят синхронно — с одной и той же частотой. В нелинейном же случае, частота колебания с большей амплитудой (синяя линия) оказывается меньше, чем у колебания с малой амплитудой (оранжевая линия). Это служит еще одним подтверждением того, что нелинейные колебания не являются гармоническими.

Ну и напоследок: это всего лишь поверхностный экскурс в метод фазовых портретов, и словосочетание «на пальцах» попало в заголовок неспроста. Те же, кто решит углубиться в перипетии данного предмета, увидят, что за фазовыми портретами скрывается намного большее.

Ссылка на основную публикацию
Удалить одноклассники страницу с телефона айфон
Если вы хотите удалить свою страницу (профиль) в Одноклассниках, особенно если это требуется сделать со смартфона Android или iPhone —...
Тест автомобильных компрессоров за рулем
Жужжат много, а толку мало. Среди 12 образцов доступных (не дороже 2000 рублей) автомобильных компрессоров треть оказалась «неправильной». Стоит ли...
Тест железа в играх
Как найти игры для моего компьютера? На данной странице сервис выдаст полный список игр которые подходят вам исходя из параметров...
Удалить папку не удалось найти этот элемент
В этой инструкции подробно о том, как удалить файл или папку, если при попытке это сделать в Windows 10, 8...
Adblock detector